他们从改变环境开始。假设平铺一个二维空间,不要试图平铺一个连续的平面,考虑一个二维格子,一个排列在网格中的无限点阵列。你现在可以将图块定义为网格上的一组有限点,如果你有一个合适的平铺,那么你可以通过复制有限的点集并将它们四处滑动来恰好覆盖格子中的每个点一次。 证明高维格子的「离散」周期性拼接猜想与证明该猜想的连续版本略有不同,因为拼接在格子中是可能的,但在连续空间中是不可能的。但它们是相关的。Greenfeld 和陶哲轩想要提出一个离散的反例来证明他们随后可以修改以在连续情况下也适用的猜想。 2021 年,他们在论文《Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile》中接近了目标,在一个非常高维的空间中找到了两块瓷砖,其可以填充它们所在的空间,但只是无周期的。Greenfeld 说道。「非常接近了,但还不够,但两块瓷砖比一块更不牢固。」 又过了一年半时间,两人为周期性平铺猜想找到了一个真正的反例。 「瓷砖三明治」 他们从构建一种新语言开始,首先将问题重写为一种特殊的方程式。这个方程式中的未知「变量」,即需要解决的问题代表了平铺高维空间的所有可能方式。「但你很难用一个方程式来描述事物,」陶哲轩说。「有时你需要多个方程来描述一个非常复杂的空间集合。」 因此,Greenfeld 和陶哲轩重新构建了他们想要解决的问题。他们意识到可以转而设计一个方程组,其中每个方程都会对其解编码不同的约束。这让他们可以将问题分解为一个关于许多不同瓷砖的问题——在其中,所有瓷砖都使用同一组翻转覆盖给定空间。 例如,在二维空间中你可以通过向上、向下、向左或向右滑动一个正方形来平铺平面,一次一个单位。其他形状也可以使用完全相同的一组偏移来平铺平面:例如,一个正方形的右边缘添加了一个凸起,左边缘被移除,就像拼图游戏一样。 如果你把一个正方形、一块拼图和其他使用同一组移位的瓷砖,像三明治中的冷盘一样把它们堆在一起,你就可以构建一个使用单一移位的瓷砖来覆盖 3D 空间。Greenfeld 和陶哲轩需要的是在更多的维度上做这件事。 陶哲轩表示:「由于我们始终是在高维度上研究,多加一个维度并没有真正妨碍到我们。」相反,这提供了额外的灵活性,以求得一个好的解决方案。 数学家们试图扭转这种夹层构建程序,将他们的单方程、高维平铺问题改写为一系列低维平铺方程。这些方程后来决定了高维平铺的构造是什么样的。