映射

Mapping

映射指的是具有某种特殊结构的函数,或泛指类函数思想的范畴论中的态射。 逻辑和图论中也有一些不太常规的用法。其数学定义为:两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有有唯一的一个元素y与它对应,就这种对应为从A到B的映射,记作f:A→B。其中,y称为元素x在映射f下的象,记作:y=f(x)。x称为y关于映射f的原象*。*集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域,记作f(A)。同样的,在机器学习中,映射就是输入与输出之间的对应关系。

来源:Wikipedia
简介

映射指的是具有某种特殊结构的函数,或泛指类函数思想的范畴论中的态射。 逻辑和图论中也有一些不太常规的用法。其数学定义为:两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有有唯一的一个元素y与它对应,就这种对应为从A到B的映射,记作f:A→B。其中,y称为元素x在映射f下的象,记作:y=f(x)。x称为y关于映射f的原象集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域,记作f(A)。同样的,在机器学习中,映射就是输入与输出之间的对应关系。

描述来源

[1] 维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Mapping

[2] 百度百科 https://baike.baidu.com/item/映射/20402621?fr=aladdin

设A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},集合A中的元素x按照对应关系“乘2加1”和集合B中的元素对应,这个对应是集合A到集合B的映射。

发展历史

描述

映射的本质是函数,而函数的概念是由伟大的意大利科学家伽利略在其1638年的著作《两门新科学》(Two New Sciences)中提出的。就在前一年,笛卡尔在他的解析几何中,已经注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但并未意识到提炼函数的概念。因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的。1673年,莱布尼兹首次使用“function”(函数)表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用 “流量”来表示变量间的关系。

直到1718年,伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上才对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数,并强调函数要用公式来表示。之后,欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为:“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把伯努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”。不难看出,欧拉给出的函数定义比伯努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1755年,欧拉给出了另一个定义:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。”自此,函数有了最基本清晰的定义。

主要事件

年份事件相关论文/Reference
1638伽利略的著作“两门新科学”出版(最早期版本已不可考,相关论文为目前可引用的版本)Galilei, G., & Drake, S. (1974). Two new sciences (p. 38). Wisconsin UP.
1748欧拉在其著作无穷分析引论中定义了函数(最早期版本已不可考,相关论文为目前可引用的版本)Euler, L. (1988). Introduction to analysis of the infinite, vol. 1. I (Translation by JD Blanton)(Springer, 1988).

发展分析

未来发展方向

作为自然科学史上最伟大的概念之一,映射(函数)在几个世纪中推动了人类文明的巨大进步。

Contributor: Yuanchao Li

相关机构
  • AMS (the American Mathematical Society)
相关人物
Galileo Galilei
Galileo Galilei
Leonhard Euler
Leonhard Euler
简介
相关机构
相关人物