泛函分析

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科,是从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论,几何学,现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程,概率论,计算数学等分科中都有应用,也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

来源:百度百科
简介

泛函分析(英语:Functional Analysis)是现代数学分析的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。

其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数。巴拿赫(Stefan Banach)是泛函分析理论的主要奠基人之一,而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(Vito Volterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。


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图:理想化圆形鼓头的一种可能的振动模式。 这些模式是函数空间上线性算子的本征函数,是函数分析中的常见结构。

在功能分析的现代介绍性文本中,该主题被视为赋予拓扑的向量空间的研究,特别是无限维空间。相比之下,线性代数主要处理有限维空间,而不使用拓扑。功能分析的一个重要部分是将测量,积分和概率理论扩展到无限维空间,也称为无限维分析。

赋范矢量空间-Normed vector spaces

在功能分析中研究的基本和历史第一类空间是在实数或复数上的完整的标准向量空间。这样的空间称为Banach空间。巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。

泛函分析所研究的一个重要对象是Banach和Hilbert空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*-代数和其他算子代数的基本概念。

Hilbert空间

希尔伯特空间(Hilbert)可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个Hilbert空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为ℵ_0)上的态射l^2(ℵ_0),所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

Banach空间

一般Banach空间比Hilbert空间更复杂,并且不能以这样简单的方式分类。特别是,许多Banach空间缺乏类似于标准正交基的概念。

对于每个实数 p>=1,Banach空间L^p,给定在集合X上的测量\mu,L^p(X),也可以记为L^p(X,\mu)或L^p(\mu),拥有一个向量对应的具可测量函数的等价类[f],其绝对值的p次幂具有有限积分,即函数f有:

\int _X |f(x)|^p d \mu(x)< +\infty

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如果\ mu是计数度量,那么积分可以用总和代替。 也就是说,

\sum _{x \in X} |f(x)|^p < +\infty


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然后,没有必要处理等价类,空间用l^p(X),表示,写得比l^p更简单,其中X是非负整数的集合。

在Banach空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即Banach空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

此外,导数的概念可以扩展到Banach空间之间的任意函数。

主要结果和定理

泛函分析的主要定理包括:

  • Uniform boundedness principle:一致有界定理(亦称共鸣定理),该定理描述一族有界算子的性质。
  • 谱定理(Spectral theorem)包括一系列结果,其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达,该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
  • 哈恩-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
  • 开映射定理和闭图像定理(Open mapping theorem,Closed graph theorem)。

数学基础的考虑因素

功能分析中考虑的大多数空间具有无限维度。为了显示这种空间的向量空间基础的存在,可能需要Zorn's lemma。然而,一个稍微不同的概念,Schauder basis,通常与功能分析更相关。许多非常重要的定理需要Hahn-Banach定理,通常使用选择公理证明,尽管严格较弱的Boolean prime ideal theorem就足够了。需要证明许多重要定理的Baire category theorem也需要一种选择公理的形式。

功能分析在数学和理论物理中的应用。

下面给出了数学物理学的一些分支,其中应用了功能分析的某些部分。

1)运算符的谱理论(spectral theory )应用于量子物理学的所有理论:量子体理论,量子场理论和量子统计力学。此外,谱理论应用于经典力学中动力系统模型的研究,流体动力学线性化方程的研究,Gibbs等的研究。

2)散射理论(Scattering theory)应用于量子物理学。值得注意的是,现代数学散射理论首先出现在物理学中。近年来,散射理论(逆问题)经常被应用于数学物理中的非线性模型方程的积分。

3)Banach代数应用于量子场理论(quantum field theory),特别是在所谓的公理场理论中,以及研究量子场和统计力学的各种可积模型。冯·诺伊曼代数也用于这些问题。

4)微扰理论(Perturbation theory),主要是线性算子的微扰理论,应用于数学物理的几乎所有领域:量子场论和统计力学,均衡和非均衡(特别是在研究所谓的动力学方程时,多粒子系统的复合光谱等)。

5)功能空间中的功能整合(Functional integration)和度量应用于建设性量子场论和量子统计力学。

6)各种积分表示(Riesz'定理,Kerin-Mil'man定理,Choquet定理等)应用于公理量子场论和统计力学。

7)向量空间(主要是希尔伯特空间)应用于量子理论和统计物理学。

8)广义函数作为一种重要的分析工具应用于数学物理中的各个领域)。

【出处:https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_analysis   】

2. 发展历史

描述

使用泛函这个词作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数,这意味着,一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马(Hadamard )在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而,泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家维多·沃尔泰拉(Vito Volterra)介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究,特别是莫里斯·弗雷歇(Maurice Fréchet)可和列维(Levy)。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派,并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫(Stefan Banach)的波兰数学家群体进一步发展

泛函分析作为一门独立的数学学科始于19世纪初,最终建立于1920年代和1930年代,一方面受特定线性算子类研究的影响 - 积分算子和与它们相关的积分方程 - 另一方面,在现代数学的纯粹内在发展的影响下,它希望概括并从而澄清某些常规行为的真实本质。 量子力学对功能分析的发展也有很大的影响,因为它的基本概念,例如能量,在无限维空间上被证明是线性算子(物理学家起初相当松散地解释为无限维矩阵)。

【出处:https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_analysis    】

主要事件

年份事件相关论文
1978Kreyszig, E.介绍泛函分析的应用Kreyszig, E. (1978). Introductory functional analysis with applications (Vol. 1). New York: wiley.
2003Kamath, R. S., Fraser, A. G., Dong, Y.,基于泛函分析使用rnai对昆虫基Kamath, R. S., Fraser, A. G., Dong, Y., Poulin, G., Durbin, R., Gotta, M., ... & Welchman, D. P. (2003). Systematic functional analysis of the Caenorhabditis elegans genome using RNAi. Nature, 421(6920), 231.
2008liHuang, D. W., Sherman, B. T.利用泛函分析对gene进行理解Huang, D. W., Sherman, B. T., & Lempicki, R. A. (2008). Bioinformatics enrichment tools: paths toward the comprehensive functional analysis of large gene lists. Nucleic acids research, 37(1), 1-13.
2013Akhiezer, N. I., & Glazman, I. M.对Hilbert space空间回顾Akhiezer, N. I., & Glazman, I. M. (2013). Theory of linear operators in Hilbert space. Courier Corporation.

3. 发展分析

瓶颈

未来发展方向

观点,目前形式的功能分析包括以下趋势:

  • 摘要分析。一种基于拓扑群,拓扑环和拓扑向量空间的分析方法。
  • 包含许多主题的Banach几何空间。一种是与Jean Bourgain有关的组合方法;另一种是对Banach空间的描述,其中各种形式的大数定律都有。
  • 非交换几何。由Alain Connes开发,部分建立在早期概念之上,例如George Mackey的遍历理论方法。
  • 与量子力学的联系。无论是在数学物理学中狭义定义,还是由例如广义解释。以色列Gelfand,包括大多数类型的表征理论。

Contributor: Ruiying Cai

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