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采样定理

简介

在数字信号处理领域,奈奎斯特–香农采样定理(下文简称采样定理)是连续信号(通常称作“模拟信号”)与离散信号(通常称作“数字信号”)之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限,或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

严格地说,定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数,即频率在有限区域以外为零。离散时间傅里叶变换(泊松求和公式的一种形式)提供了实际信号的解析延拓,但只能近似该条件。直观上我们希望,当把连续函数化为采样值(叫做“样本”)的离散序列并插值到连续函数中,结果的保真度取决于原始采样的密度(或采样率)。采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念;在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。

让我们假设信道在从零cps(次/秒)开始的频率中具有一定的带宽W,并且我们可以使用该信道一段时间T,没有任何进一步的限制。这意味着我们可以使用任何信号函数,只要其频谱完全位于频带W内,并且其时间函数位于间隔T内。虽然在实际中我们往往不可能准确地满足这两个条件,但可以将频谱保持在频带W内并且保证时间函数在区间T以外的值非常小。我们能否以更有用的方式描述满足这些条件的函数? 其中一个方法即是使用香农描述的采样定理:

x(t) 不包含高于 B cps(次/秒)的频率,那么,一系列小于 1/(2B) 秒的x(t)函数值将会受到前一个周期的x(t)函数值影响。

下面给出香农在其论文中的证明过程:

令X(w) 为x(t)的频谱,则:

因为假设在频带|w/z*pi|以外X(w)为零,若我们令t=n/2B,其中 n 为任意正整数或负整数,我们得到:

在等式左边的是x(t)在采样点的数值,右边的积分在本质上可以视为是X(w)的n次系数,以–BB为其基础周期。这表示x(n/2B)的采样值也决定了X(w)傅里叶展开的第n次系数。对于比B低的频率,若其傅里叶系数确定了,X(w)也就确定了,而在高于B的频率,其数值为零,因此整个X(w)都可以确定。因为一函数的频谱若确定了,其函数也就确定了,因此X(w)可以完全的决定原始函数,也就表示原始的采样可以完整的决定函数x(t)。

奈奎斯特–香农采样定理的名字是为了纪念哈里·奈奎斯特和克劳德·香农。该定理也被埃德蒙·泰勒·惠特克、弗拉基米尔·科捷利尼科夫等人独立发现。所以它还叫做奈奎斯特–香农–科特尔尼科夫定理、惠特克–香农–科特尔尼科夫定理、惠特克–奈奎斯特–科特尔尼科夫–香农定理及插值基本定理。

[描述来源:Shannon, C. E. (1949). Communication in the presence of noise.Proceedings of the Institute of Radio Engineers. 37 (1): 10–21]

[描述来源:维基百科 URL:https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem]

发展历史

哈里·奈奎斯特于1928年的论文中就已隐含了采样定理,他证明了一个带宽为B的系统可以传送最多2B个独立的脉冲,不过他没有直接讨论连续信号采样及重建的问题。同一时期的卡尔·库普夫米勒证明了类似的结果,也讨论到频带限制滤波器的sinc函数冲激响应,以及其积分,步阶响应的三角积分,频带限制滤波器及信号重建滤波器是采样定理的核心,因此在一些地区会将这二个滤波器称为Küpfmüller filter。

采样定理是在克劳德·香农在1949年的论文中正式提出的,这一采样定理可以延伸到非均匀采样,也就是采样的时间间隔非一定值。亨利·蓝道于1967年提出了非基带及非均匀采样的泛用理论。在1990年代末期,此研究已延伸到信号占据带宽的数量已知,但实际在频谱上位置未知的情形,并逐渐利用压缩感知( compressed sensing)发展成了一个完整的理论。2009年Moshe Mishali 和Yonina C. Eldar在真正的模拟设置中首次对压缩感知进行系统研究。数值实验展示了以最小采样率进行盲采样和重构。论文中证明,若频率的位置未知,则采样频率需至少为奈奎斯特准则的二倍。

在机器学习领域,采样定理常常应用于需要的进行图像处理的领域,如计算机视觉。

主要事件

年份事件相关论文/Reference
1928哈里·奈奎斯特于1928年的论文中就已隐含了采样定理Nyquist, H. (1928). Certain topics in telegraph transmission theory. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. 47(2): 617–644.
1928卡尔·库普夫米勒证明了类似的结果Küpfmüller, K. (1928). Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler.Elektrische Nachrichtentechnik (in German). 5 (11): 459–467.
1949克劳德·香农在论文中正式提出采样定理Shannon, C. E.(1949). Communication in the presence of noise.Proceedings of the Institute of Radio Engineers. 37 (1): 10–21.
1967亨利·蓝道提出了非基带及非均匀采样的泛用理论Landau, H. J. (1967). Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions. Acta Mathematica.117 (1): 37–52.
2009Moshe Mishali 和Yonina C. Eldar在真正的模拟设置中首次对压缩感知进行系统研究Mishali, M.; Eldar, Y. C.(2009). Blind Multiband Signal Reconstruction: Compressed Sensing for Analog Signals.IEEE Transactions on Signal Processing.57 (3): 993-1009.

发展分析

瓶颈

采样定理定义了采样定理取样频率的下限,但这种数据获取模式先采样再压缩,需要大量的时间压缩和空间存储数据,这限制了高速信号处理的发展,也给硬件的实时处理带来了极大的挑战。

未来发展方向

压缩感知(Compressed sensing)即是为了针对采样定理所导致的这个缺陷而提出的,这个方法利用讯号稀疏的特性,能够从较少的测量值还原出原来整个目标讯号。

Contributor:Yuanyuan Li

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