机器之心编辑部报道

数学界难题「abc猜想」宣告解决?望月新一论文终获发表,全球几乎无人能懂

8 年了,望月新一在 2012 年提交的 600 多页如同「天书」一般的论文终于要正式发表了。


4 月 3 日,日媒京都新闻报道,日本京都大学数理分析研究所教授望月新一(Shinichi Mochizuki)对于数论难题「abc 猜想」的证明近日将正式发表。从公布之日算起,该论文已经经历了近 8 年的审查。《自然》杂志随后也跟进报道了这一消息。



abc 猜想(abc conjecture)是一个著名的数学猜想,有关整数加法和乘法之间的关系。此猜想以三个互质正整数 a、b、c 描述,c 是 a 及 b 的和,猜想因此得名。此猜想有数个宣称的证明,但此前未有获得人们信服的结果。

abc 猜想在数学界有着重要意义,很多著名猜想/理论都是它的推论,如费马大定理、比尔猜想、Mordell 猜想以及孪生素数猜想等。这个猜想在数论中的地位很高,几乎与黎曼猜想齐名。

abc 猜想一经得证,数论中很多著名猜想可以立时得出。美国数学家、哥伦比亚大学教授多利安·哥德费尔德称 abc 猜想为「丢番图分析中最重要的未解问题」。


此前,尽管数学家们已经在检验望月新一的证明上花费了大量功夫,但是很多人仍然对于论文中的潜在假设表示困惑。据称,直到论文发表四年多之后的 2017 年底,也只有十几位数学家表示能够看懂该论文

望月新一的论文实际上由多篇组成,相加起来超过了 600 页,晦涩难懂,还引用了超过 500 页自己的其他论文,几乎就是为了解决 abc 猜想而发展出了一套新的数学理论。以至于斯坦福大学数学家布莱恩·科纳德(Brian Conrad)觉得「这简直是个无穷无尽的递归表达式」。

但经过 8 年的努力,四面楚歌的望月新一终于受到了一些认可。他那长达 600 页的 abc 猜想证明——四篇「宇宙际 Teichmüller 理论」论文终于要出版了。

接收这篇论文的是日本京都大学数理解析研究所(RIMS)出版部门,而这家刊物的主编正是望月新一,这是数学家们在长期激烈的争论后取得的最新进展。

另外两位 RIMS 的数学家——柏原正树和玉川安骑男——在 4 月 3 日的发布会上宣布了这一发表决定。柏原正树表示,这篇论文「将产生重大影响」。当被问及望月新一对论文即将发表作何感想时,柏原答道,「我觉得他可能松了一口气」。

难倒大批数学家的 abc 猜想

abc 猜想是数论中一个很难证明的难题,它和动亟百年历史的黎曼猜想、费马大定理和哥德巴赫猜想相比年轻很多,但却同样有名。它最先由法国数学家 Joseph Oesterlé及英国数学家 David Masser 在 1985 年提出。

此猜想以三个互质正整数 a, b, c 描述,c 是 a 及 b 的和(a + b = c)。若 d 是 abc 不同素因数的乘积,这个猜想本质上是要说 d 通常不会比 c 小太多。换句话来说,如果 a、b 的因数中有某些素数的高幂次,那 c 通常就不会被素数的高幂次整除。

abc 猜想因它所带来的一些关于数论的有趣结论而著名,很多著名的猜想和定理都紧接着 abc 猜想问世。法国数学家 Lucien Szpiro 2007 年时曾尝试攻克 abc 猜想,但后来被证明其中有误。这一猜想也衍生出一个专门的分布式计算项目——ABC@Home。

如果这一猜想得到证明,那么数论领域将发生巨大变化,比如为费马大定理的证明提供一种全新的方法。费马大定理是皮埃尔·德·费马在 1637 年提出的一个传奇问题,直到 1995 年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯用 200 多页的论文完成了证明。但如果 abc 猜想是成立的,那么他的证明只需下面几行字:



备受争议的证明

2012 年,望月新一悄悄上传了论文预印本,发布平台却没有选择数学家首选的 arXiv,而是在京都大学数理解析研究所的个人主页上。当众人打开这 4 篇总共 600 多页的论文时,大家都被其中的内容吓到了:论文以一种高深莫测的特殊风格撰写,即使是同样作为数学家的很多人也都看不懂。

具体来说,这篇论文中充满了各种奇怪的符号,以及风格诡异的定义名称,如「宇宙暗边际之极」、「霍奇影院」(Hodge Theater)、「外星算数全纯结构」(alien arithmetic holomorphic structures)等等……


霍奇影院是什么?望月新一论文《Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters》中的一张图。

「就像是在阅读一篇来自未来或者外太空的论文」,美国威斯康星大学的数学家 Jordan Ellenberg 在自己的博客上这样评价望月新一的论文。

牛津大学数学教授金明迥对此的评价是:「当你沉浸在自己的理论宇宙中太久,你会察觉不到他人对于你的理论的困惑,因为你先入为主地假设了所有人都明白很多基础知识。」

文章引起轰动后,望月新一拒绝了所有出国演讲和讲座。他的一些非常紧密的合作者表示,虽然他们发现该证明是正确的,但世界各地的专家们通常不愿意尽最大努力去研究它,更别说对其进行验证。随后几年举行了有关该主题的学术探讨会。这些研讨会取得了一些进展,但也表示可能需要花很多年才能得出结论。望月的博士论文导师法尔廷斯也公开批评过望月,认为他并没有清晰地传达自己的想法。

在 2017 年 12 月 16 日,日本《朝日新闻》声称望月的证明进度已接近官方验证,而这一成就可以与 1995 年证明费马大定理相当。然而,虽然有些谣言表示京都大学数理解析研究所出版部门已经接受其研究,但时任主编却予以否认。

2017 年 12 月,纽约哥伦比亚大学的数学物理学家 Peter Woit 在博客中写道,如果学术期刊能够接收望月新一的论文,则将带来数学史上未曾有过的一件盛事:一家备受尊重的学术期刊声称已经验证了一个著名猜想的证明,而该领域内的大多数专家却无法理解这个证明。

但遗憾的是,论文即将发表的谣言最终不攻自破。并且在接下来的几个月里,事情对于望月新一而言变得更糟了。

波士顿大学的 Peter Scholze 和歌德大学的 Jacob Stix 私下传播了对望月新一 abc 猜想证明的反驳,并提出了一处具体的关键漏洞。Scholze 被公认为是数论方面的权威,并在 2018 年 8 月获得了数学领域最高荣誉——菲尔兹奖。

同月,Scholze 和 Stix 在数学和物理学杂志《Quanta》上的一篇独家文章中公开写道,他们发现了望月新一 abc 猜想证明中的一个严重的、无法修正的缺陷。Scholze 表示:「我认为 abc 猜想仍未得到证明,任何人都有机会证明这一点。」

「从我了解的内容来看,望月工作光是『概念验证』就要 300 多页,这样才能证明 abc 猜想,」UCLA 数学教授陶哲轩当时评论道。「在我看来,如果能有一个更简短的,比如少于 100 页的概念验证,就有可能帮助人们消除对这一证明的疑问。如果需要 300 多页来建立一个全新的独立体系,而这个体系只能用来证明 abc 猜想,却没有任何其他的外在意义,这将是一件非常奇怪的事情。」

在当时发表在其网站上的评论中,望月新一对这些批评置之不理,他认为那两位作者并不能理解自己的工作。

虽然望月新一很少出面解读自己的工作,但近年来随着人们的努力消化,指出错误,论文已经过了不断修订。在望月新一的个人网站上,我们看到「宇宙際Teichmuller理論」系列论文预印版最近得到了更新:



如希望阅读论文,链接在此:http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html


该论文被官方期刊接收似乎不太可能改变争议的现状。Scholze 在一封电子邮件中告诉《自然》杂志:「从我和 Stix 一起写手稿时,我的判断就从未改变过。」

在新闻发布会上,玉川安骑男说解决方案本身并没有因为 Scholze 和 Stix 的批评而改变。关于它的相关评论也将在手稿中发表,但其本质并没有发生变化。

欧洲数学协会(EMS,代表 RIMS 发表相关期刊)的主席 Volker Mehrmann 说,如果杂志社的编辑「忽略这些批评」并在没有大改的情况下发表这篇论文,这很可能对他们和望月新一自己产生不好的影响。

但是一位不愿意透露姓名的数学家说,编辑和审稿人是在一个几乎不可能出现的情形下处理这些论文。「如果最优秀的数学家花费大量精力去试图弄清楚事情的缘由却仍然失败了,一个审稿人又怎么可能做到呢?」

那么,将论文发在自己担任主编的期刊上是否合规?对此,京都大学数理解析研究所特任教授中岛启表示,数学家经常在他们担任编辑的期刊上发表论文,「只要作者不参与同行评审过程,就不算作违反 EMS 准则,并且这种事情是普遍存在的。」

柏原正树透露,望月新一退出了评审程序,并且没有参加有关该论文的任何编辑委员会会议。此外,该杂志此前也曾发表过其他编辑委员会成员的论文。

望月新一的论文于 2 月 5 日被接收,但发表日期尚未确定。柏原正树说:「这是一个很长的手稿,还是特刊,所以说不知道要花多长时间。」

在数学领域,期刊认可并不意味着完全通过同行评审。只有在社区达成共识后,一项重要的成果才会真正成为公认的定理,而且这可能要在论文发表后经数年验证。

「尽管多年来困难重重,但我仍然认为,如果望月新一的观点正确无误,那将是非常不错的。」英国牛津大学的数学家金明迥(Minhyong Kim)说。

但也有数学家并不买账。

加州大学圣地亚哥分校的数论专家 Kiran Kedlaya 对《Nature》表示,「我可以肯定的说,自 2018 年以来,社区的观点没有发生太大变化。」此前,Kedlaya 已经花了多年时间来研究望月的证明。

加州大学伯克利分校的 Edward Frenkel 也表示,「在新的信息出现之前,我不会对这篇论文的发表给出看法。」

孜孜不倦证明 acb 猜想的数学家:望月新一

从研究提交到被接收,学者和评审们用了七年半的时间,而对于数学家望月新一来说,他的研究从开始到现在已经过去了 20 年。


望月新一 1969 年出生于日本东京,16 岁即进入普林斯顿大学读本科,19 岁毕业,之后顺利进入研究生院,师从德国著名科学家、1986 年菲尔兹奖获得者法尔廷斯。1992 年,望月新一获得数学博士学位(年仅 23 岁)。同年,他进入京都大学数理解析研究所,并于 2002 年(33 岁)荣升教授。在学术上,望月新一专注于算数几何、霍奇理论和远阿贝尔几何等数学工作领域。

此外,有关望月新一还一直流传着这样一种说法,他被认为是比特币的发明者。但这一说法疑点颇多。首先,身为纯数学家,很难想象他会对现实中可应用的事情感兴趣;其次,比特币的技术基础是密码学,也非他的研究兴趣;最后,比特币发明者「中本聪」本身也可能并非日本人。

参考链接:
https://www.kyoto-np.co.jp/articles/-/209411
https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2


文为机器之心报道,转载请联系本公众号获得授权
✄------------------------------------------------
加入机器之心(全职记者 / 实习生):hr@jiqizhixin.com
投稿或寻求报道:content@jiqizhixin.com
广告 & 商务合作:bd@jiqizhixin.com
理论高等数学数学
1
暂无评论
暂无评论~