Auto Byte

专注未来出行及智能汽车科技

微信扫一扫获取更多资讯

Science AI

关注人工智能与其他前沿技术、基础学科的交叉研究与融合发展

微信扫一扫获取更多资讯

参与:Geek AI、路作者:Tobias Skovgaard Jepsen

图卷积网络到底怎么做,这是一份极简的Numpy实现

由于图结构非常复杂且信息量很大,因此对于图的机器学习是一项艰巨的任务。本文介绍了如何使用图卷积网络(GCN)对图进行深度学习,GCN 是一种可直接作用于图并利用其结构信息的强大神经网络

本文将介绍 GCN,并使用代码示例说明信息是如何通过 GCN 的隐藏层传播的。读者将看到 GCN 如何聚合来自前一层的信息,以及这种机制如何生成图中节点的有用特征表征。

何为图卷积网络?

GCN 是一类非常强大的用于图数据的神经网络架构。事实上,它非常强大,即使是随机初始化的两层 GCN 也可以生成图网络中节点的有用特征表征。下图展示了这种两层 GCN 生成的每个节点的二维表征。请注意,即使没有经过任何训练,这些二维表征也能够保存图中节点的相对邻近性。

更形式化地说,图卷积网络(GCN)是一个对图数据进行操作的神经网络。给定图 G = (V, E),GCN 的输入为:

  • 一个输入维度为 N × F⁰ 的特征矩阵 X,其中 N 是图网络中的节点数而 F⁰ 是每个节点的输入特征数。

  • 一个图结构的维度为 N × N 的矩阵表征,例如图 G 的邻接矩阵 A。[1]

因此,GCN 中的隐藏层可以写作 Hⁱ = f(Hⁱ⁻¹, A))。其中,H⁰ = X,f 是一种传播规则 [1]。每一个隐藏层 Hⁱ 都对应一个维度为 N × Fⁱ 的特征矩阵,该矩阵中的每一行都是某个节点的特征表征。在每一层中,GCN 会使用传播规则 f 将这些信息聚合起来,从而形成下一层的特征。这样一来,在每个连续的层中特征就会变得越来越抽象。在该框架下,GCN 的各种变体只不过是在传播规则 f 的选择上有所不同 [1]。

传播规则的简单示例

下面,本文将给出一个最简单的传播规则示例 [1]:

f(Hⁱ, A) = σ(AHⁱWⁱ)

其中,Wⁱ 是第 i 层的权重矩阵,σ 是非线性激活函数(如 ReLU 函数)。权重矩阵的维度为 Fⁱ × Fⁱ⁺¹,即权重矩阵第二个维度的大小决定了下一层的特征数。如果你对卷积神经网络很熟悉,那么你会发现由于这些权重在图中的节点间共享,该操作与卷积核滤波操作类似。

简化

接下来我们在最简单的层次上研究传播规则。令:

  • i = 1,(约束条件 f 是作用于输入特征矩阵的函数)

  • σ 为恒等函数

  • 选择权重(约束条件: AH⁰W⁰ =AXW⁰ = AX)

换言之,f(X, A) = AX。该传播规则可能过于简单,本文后面会补充缺失的部分。此外,AX 等价于多层感知机的输入层。

简单的图示例

我们将使用下面的图作为简单的示例:

一个简单的有向图。

使用 numpy 编写的上述有向图的邻接矩阵表征如下:

A = np.matrix([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1], 
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0]],
    dtype=float
)

接下来,我们需要抽取出特征!我们基于每个节点的索引为其生成两个整数特征,这简化了本文后面手动验证矩阵运算的过程。

In [3]: X = np.matrix([
            [i, -i]
            for i in range(A.shape[0])
        ], dtype=float)
        X
Out[3]: matrix([
           [ 0.,  0.],
           [ 1., -1.],
           [ 2., -2.],
           [ 3., -3.]
        ])

应用传播规则

我们现在已经建立了一个图,其邻接矩阵为 A,输入特征的集合为 X。下面让我们来看看,当我们对其应用传播规则后会发生什么:

In [6]: A * X
Out[6]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 5., -5.],
            [ 1., -1.],
            [ 2., -2.]]

每个节点的表征(每一行)现在是其相邻节点特征的和!换句话说,图卷积层将每个节点表示为其相邻节点的聚合。大家可以自己动手验证这个计算过程。请注意,在这种情况下,如果存在从 v 到 n 的边,则节点 n 是节点 v 的邻居。

问题

你可能已经发现了其中的问题:

  • 节点的聚合表征不包含它自己的特征!该表征是相邻节点的特征聚合,因此只有具有自环(self-loop)的节点才会在该聚合中包含自己的特征 [1]。

  • 度大的节点在其特征表征中将具有较大的值,度小的节点将具有较小的值。这可能会导致梯度消失或梯度爆炸 [1, 2],也会影响随机梯度下降算法(随机梯度下降算法通常被用于训练这类网络,且对每个输入特征的规模(或值的范围)都很敏感)。

接下来,本文将分别对这些问题展开讨论。

增加自环

为了解决第一个问题,我们可以直接为每个节点添加一个自环 [1, 2]。具体而言,这可以通过在应用传播规则之前将邻接矩阵 A 与单位矩阵 I 相加来实现。

In [4]: I = np.matrix(np.eye(A.shape[0]))
        I
Out[4]: matrix([
            [1., 0., 0., 0.],
            [0., 1., 0., 0.],
            [0., 0., 1., 0.],
            [0., 0., 0., 1.]
        ])
In [8]: A_hat = A + I
        A_hat * X
Out[8]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 6., -6.],
            [ 3., -3.],
            [ 5., -5.]])

现在,由于每个节点都是自己的邻居,每个节点在对相邻节点的特征求和过程中也会囊括自己的特征!

对特征表征进行归一化处理

通过将邻接矩阵 A 与度矩阵 D 的逆相乘,对其进行变换,从而通过节点的度对特征表征进行归一化。因此,我们简化后的传播规则如下:

f(X, A) = D⁻¹AX

让我们看看发生了什么。我们首先计算出节点的度矩阵。

In [9]: D = np.array(np.sum(A, axis=0))[0]
        D = np.matrix(np.diag(D))
        D
Out[9]: matrix([
            [1., 0., 0., 0.],
            [0., 2., 0., 0.],
            [0., 0., 2., 0.],
            [0., 0., 0., 1.]
        ])

在应用传播规则之前,不妨看看我们对邻接矩阵进行变换后发生了什么。

变换之前

A = np.matrix([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1], 
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0]],
    dtype=float
)

变换之后

In [10]: D**-1 * A
Out[10]: matrix([
             [0. , 1. , 0. , 0. ],
             [0. , 0. , 0.5, 0.5],
             [0. , 0.5, 0. , 0. ],
             [0.5, 0. , 0.5, 0. ]
])

可以观察到,邻接矩阵中每一行的权重(值)都除以该行对应节点的度。我们接下来对变换后的邻接矩阵应用传播规则:

In [11]: D**-1 * A * X
Out[11]: matrix([
             [ 1. , -1. ],
             [ 2.5, -2.5],
             [ 0.5, -0.5],
             [ 2. , -2. ]
         ])

得到与相邻节点的特征均值对应的节点表征。这是因为(变换后)邻接矩阵的权重对应于相邻节点特征加权和的权重。大家可以自己动手验证这个结果。

整合

现在,我们将把自环和归一化技巧结合起来。此外,我们还将重新介绍之前为了简化讨论而省略的有关权重激活函数的操作。

添加权重

首先要做的是应用权重。请注意,这里的 D_hat 是 A_hat = A + I 对应的度矩阵,即具有强制自环的矩阵 A 的度矩阵。

In [45]: W = np.matrix([
             [1, -1],
             [-1, 1]
         ])
         D_hat**-1 * A_hat * X * W
Out[45]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 4., -4.],
            [ 2., -2.],
            [ 5., -5.]
        ])

如果我们想要减小输出特征表征的维度,我们可以减小权重矩阵 W 的规模:

In [46]: W = np.matrix([
             [1],
             [-1]
         ])
         D_hat**-1 * A_hat * X * W
Out[46]: matrix([[1.],
        [4.],
        [2.],
        [5.]]
)

添加激活函数

本文选择保持特征表征的维度,并应用 ReLU 激活函数

In [51]: W = np.matrix([
             [1, -1],
             [-1, 1]
         ])
         relu(D_hat**-1 * A_hat * X * W)
Out[51]: matrix([[1., 0.],
        [4., 0.],
        [2., 0.],
        [5., 0.]])

这就是一个带有邻接矩阵、输入特征、权重激活函数的完整隐藏层!

在真实场景下的应用

最后,我们将图卷积网络应用到一个真实的图上。本文将向读者展示如何生成上文提到的特征表征。

Zachary 空手道俱乐部

Zachary 空手道俱乐部是一个被广泛使用的社交网络,其中的节点代表空手道俱乐部的成员,边代表成员之间的相互关系。当年,Zachary 在研究空手道俱乐部的时候,管理员和教员发生了冲突,导致俱乐部一分为二。下图显示了该网络的图表征,其中的节点标注是根据节点属于俱乐部的哪个部分而得到的,「A」和「I」分别表示属于管理员和教员阵营的节点。

Zachary 空手道俱乐部图网

构建 GCN

接下来,我们将构建一个图卷积网络。我们并不会真正训练该网络,但是会对其进行简单的随机初始化,从而生成我们在本文开头看到的特征表征。我们将使用 networkx,它有一个可以很容易实现的 Zachary 空手道俱乐部的图表征。然后,我们将计算 A_hat 和 D_hat 矩阵。

from networkx import to_numpy_matrix
zkc = karate_club_graph()
order = sorted(list(zkc.nodes()))
A = to_numpy_matrix(zkc, nodelist=order)
I = np.eye(zkc.number_of_nodes())
A_hat = A + I
D_hat = np.array(np.sum(A_hat, axis=0))[0]
D_hat = np.matrix(np.diag(D_hat))

接下来,我们将随机初始化权重

W_1 = np.random.normal(
    loc=0, scale=1, size=(zkc.number_of_nodes(), 4))
W_2 = np.random.normal(
    loc=0, size=(W_1.shape[1], 2))

接着,我们会堆叠 GCN 层。这里,我们只使用单位矩阵作为特征表征,即每个节点被表示为一个 one-hot 编码的类别变量。

def gcn_layer(A_hat, D_hat, X, W):
    return relu(D_hat**-1 * A_hat * X * W)
H_1 = gcn_layer(A_hat, D_hat, I, W_1)
H_2 = gcn_layer(A_hat, D_hat, H_1, W_2)
output = H_2

我们进一步抽取出特征表征。

feature_representations = {
    node: np.array(output)[node] 
    for node in zkc.nodes()}

你看,这样的特征表征可以很好地将 Zachary 空手道俱乐部的两个社区划分开来。至此,我们甚至都没有开始训练模型!

Zachary 空手道俱乐部图网络中节点的特征表征。

我们应该注意到,在该示例中由于 ReLU 函数的作用,在 x 轴或 y 轴上随机初始化的权重很可能为 0,因此需要反复进行几次随机初始化才能生成上面的图。

结语

本文中对图卷积网络进行了高屋建瓴的介绍,并说明了 GCN 中每一层节点的特征表征是如何基于其相邻节点的聚合构建的。读者可以从中了解到如何使用 numpy 构建这些网络,以及它们的强大:即使是随机初始化的 GCN 也可以将 Zachary 空手道俱乐部网络中的社区分离开来。 

参考文献

[1] Blog post on graph convolutional networks by Thomas Kipf.

[2] Paper called Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks by Thomas Kipf and Max Welling.

原文链接:https://towardsdatascience.com/how-to-do-deep-learning-on-graphs-with-graph-convolutional-networks-7d2250723780

工程图神经网络图卷积网络图结构数据
13
相关数据
深度学习技术

深度学习(deep learning)是机器学习的分支,是一种试图使用包含复杂结构或由多重非线性变换构成的多个处理层对数据进行高层抽象的算法。 深度学习是机器学习中一种基于对数据进行表征学习的算法,至今已有数种深度学习框架,如卷积神经网络和深度置信网络和递归神经网络等已被应用在计算机视觉、语音识别、自然语言处理、音频识别与生物信息学等领域并获取了极好的效果。

激活函数技术

在 计算网络中, 一个节点的激活函数定义了该节点在给定的输入或输入的集合下的输出。标准的计算机芯片电路可以看作是根据输入得到"开"(1)或"关"(0)输出的数字网络激活函数。这与神经网络中的线性感知机的行为类似。 一种函数(例如 ReLU 或 S 型函数),用于对上一层的所有输入求加权和,然后生成一个输出值(通常为非线性值),并将其传递给下一层。

权重技术

线性模型中特征的系数,或深度网络中的边。训练线性模型的目标是确定每个特征的理想权重。如果权重为 0,则相应的特征对模型来说没有任何贡献。

机器学习技术

机器学习是人工智能的一个分支,是一门多领域交叉学科,涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、计算复杂性理论等多门学科。机器学习理论主要是设计和分析一些让计算机可以自动“学习”的算法。因为学习算法中涉及了大量的统计学理论,机器学习与推断统计学联系尤为密切,也被称为统计学习理论。算法设计方面,机器学习理论关注可以实现的,行之有效的学习算法。

多层感知机技术

感知机(Perceptron)一般只有一个输入层与一个输出层,导致了学习能力有限而只能解决线性可分问题。多层感知机(Multilayer Perceptron)是一类前馈(人工)神经网络及感知机的延伸,它至少由三层功能神经元(functional neuron)组成(输入层,隐层,输出层),每层神经元与下一层神经元全互连,神经元之间不存在同层连接或跨层连接,其中隐层或隐含层(hidden layer)介于输入层与输出层之间的,主要通过非线性的函数复合对信号进行逐步加工,特征提取以及表示学习。多层感知机的强大学习能力在于,虽然训练数据没有指明每层的功能,但网络的层数、每层的神经元的个数、神经元的激活函数均为可调且由模型选择预先决定,学习算法只需通过模型训练决定网络参数(连接权重与阈值),即可最好地实现对于目标函数的近似,故也被称为函数的泛逼近器(universal function approximator)。

神经网络技术

(人工)神经网络是一种起源于 20 世纪 50 年代的监督式机器学习模型,那时候研究者构想了「感知器(perceptron)」的想法。这一领域的研究者通常被称为「联结主义者(Connectionist)」,因为这种模型模拟了人脑的功能。神经网络模型通常是通过反向传播算法应用梯度下降训练的。目前神经网络有两大主要类型,它们都是前馈神经网络:卷积神经网络(CNN)和循环神经网络(RNN),其中 RNN 又包含长短期记忆(LSTM)、门控循环单元(GRU)等等。深度学习是一种主要应用于神经网络帮助其取得更好结果的技术。尽管神经网络主要用于监督学习,但也有一些为无监督学习设计的变体,比如自动编码器和生成对抗网络(GAN)。

卷积神经网络技术

卷积神经网路(Convolutional Neural Network, CNN)是一种前馈神经网络,它的人工神经元可以响应一部分覆盖范围内的周围单元,对于大型图像处理有出色表现。卷积神经网路由一个或多个卷积层和顶端的全连通层(对应经典的神经网路)组成,同时也包括关联权重和池化层(pooling layer)。这一结构使得卷积神经网路能够利用输入数据的二维结构。与其他深度学习结构相比,卷积神经网路在图像和语音识别方面能够给出更好的结果。这一模型也可以使用反向传播算法进行训练。相比较其他深度、前馈神经网路,卷积神经网路需要考量的参数更少,使之成为一种颇具吸引力的深度学习结构。 卷积网络是一种专门用于处理具有已知的、网格状拓扑的数据的神经网络。例如时间序列数据,它可以被认为是以一定时间间隔采样的一维网格,又如图像数据,其可以被认为是二维像素网格。

随机梯度下降技术

梯度下降(Gradient Descent)是遵循成本函数的梯度来最小化一个函数的过程。这个过程涉及到对成本形式以及其衍生形式的认知,使得我们可以从已知的给定点朝既定方向移动。比如向下朝最小值移动。 在机器学习中,我们可以利用随机梯度下降的方法来最小化训练模型中的误差,即每次迭代时完成一次评估和更新。 这种优化算法的工作原理是模型每看到一个训练实例,就对其作出预测,并重复迭代该过程到一定的次数。这个流程可以用于找出能导致训练数据最小误差的模型的系数。

堆叠技术

堆叠泛化是一种用于最小化一个或多个泛化器的泛化误差率的方法。它通过推导泛化器相对于所提供的学习集的偏差来发挥其作用。这个推导的过程包括:在第二层中将第一层的原始泛化器对部分学习集的猜测进行泛化,以及尝试对学习集的剩余部分进行猜测,并且输出正确的结果。当与多个泛化器一起使用时,堆叠泛化可以被看作是一个交叉验证的复杂版本,利用比交叉验证更为复杂的策略来组合各个泛化器。当与单个泛化器一起使用时,堆叠泛化是一种用于估计(然后纠正)泛化器的错误的方法,该泛化器已经在特定学习集上进行了训练并被询问了特定问题。

图网技术

ImageNet 是一个计算机视觉系统识别项目, 是目前世界上图像识别最大的数据库。

图网络技术

2018年6月,由 DeepMind、谷歌大脑、MIT 和爱丁堡大学等公司和机构的 27 位科学家共同提交了论文《Relational inductive biases, deep learning, and graph networks》,该研究提出了一个基于关系归纳偏置的 AI 概念:图网络(Graph Networks)。研究人员称,该方法推广并扩展了各种神经网络方法,并为操作结构化知识和生成结构化行为提供了新的思路。

推荐文章
暂无评论
暂无评论~