泽南、张倩作者

亚里士多德千年前的猜想,被这群MIT本科生向前推进了一步

在寻找可以填充三维空间的四面体之路上,MIT的本科生往前推进了一步。


早在两千多年前,亚里士多德就已开始着手的一项研究,今日仍在麻省理工学院(MIT)30 名本科生的工作组中进行着。人们一直在使用现代数学的新工具,为这一持续千年的探索注入新的活力,以寻找可以完美填充或平铺的三维空间形状。

「当知道一些伟大的思想家毕生都在研究这个题目,我们不由地感到兴奋,甚至感到有点害怕,」MIT 数学和计算机科学系一年级学生 Yuyuan Luo 说道,他是 Bjorn Poonen 教授组织的研究团队的一员。

亚里士多德对于这个问题的兴趣,来自于对他的导师柏拉图的反驳。


在公元前 360 年的经典《蒂迈欧篇》(Timaeus)中,柏拉图讨论了古典四元素理论:水、气、火、土。他推测,这些元素都是由具有独特形状的粒子构成的,这些粒子的形状与五个常规固体一一对应,分别为:正四面体(火),正八面体(气),正二十面体(水),及正六面体(土)。


亚里士多德基于自己的假设(即这些元素的粒子必须能够完整填充全部空间)提出了反对。也就是说,他认为在有水的地方,需要能够正好排列数个二十面体水颗粒,以使二十面体完美地占据整个水域而不会重叠。

经过进一步思考,亚里士多德在公元前 350 年的《论天》(De Caelo)一书中解释说,二十面体「不会成功地填充整个空间」。因此他辩称水颗粒不可能具有这种形状。由于同样的原因,他进而怀疑气元素颗粒的形状应该也不是八面体,但他认为土元素(立方体)和火元素(四面体)是可以填充整个空间的。所以他认为柏拉图在这两种元素上的推论是正确的。

但千年以后,人们发现亚里士多德的这部分推论也有错误。


早在十五世纪,科学家们就开始怀疑正四面体(四个面均为等边三角形)也不能用来完整填充空间,到十七世纪时,人们就已经完全确认了这一问题。如果亚里士多德当年进行过深入研究的话,他其实也可以认识到这一点。

「如果亚里士多德制造了正四面体模型,他自然就可以把它们边对边摆在一起,进而发现摆上五个四面体之后还有一个小小的空隙」史密斯学院的 Marjorie Senechal 说道。

如果正四面体行不通,那么问题就变成了:存在这样的不规则四面体吗?

正四面体不能无缝地填充空间。


1923 年,苏格兰数学家 Duncan Sommerville 给出了第一个这方面的例子。

总的来说,数学家们已经发现了两个单独的四面体和三个四面体无限族可以填充空间。无限族有一个参数,你可以用无限种方法来缩小一些内角,扩大其他内角,同时保持这些多面体填充空间的能力。数学家们还没有发现其他情况,也不确定究竟存在多少种情况。

「我不知道除了找到这些例子之外,这个问题到底有没有理论上的解,」 Senechal 表示。

事实上,大部分三维形状都无法填充空间。「我们不了解填充三维空间的难度有多大,」康奈尔大学的 Inna Zakharevich 表示,「我认为,任何能做到这一点的立方体都很酷」。


这意味着,寻找这种形状多少有点靠运气。幸运的是,该问题与其他两个相关问题之间的巧妙对应有助于寻找可以平铺三维空间的四面体。第一个相关问题是:两个相同体积的直边图形总是可以用直线分隔并重新组合吗?德国数学家大卫 · 希尔伯特(David Hilbert)在 1900 年提出了这个问题。同年,他的学生,Max Dehn 给出了答案的一个重要部分。


Dehn 展示了可以使用任意多面体形状的角度(例如四面体或立方体)来计算单个量,现在称为 Dehn 不变量。他证明要使两个形状「scissors congruent」(可以被剪开并重组),就意味着它们必须有相同的 Dehn 不变量。Dehn 使用他的新测量方法证明,规则的四面体和立方体不是 scissors congruent 的,因为它们的 Dehn 不变量不同。

20 世纪后期,数学家们证明了另外两个关键的事实,将 scissors congruence 和平铺关联在了一起。1965 年,让 · 皮埃尔 · 赛德勒(Jean-Pierre Sydler)证明了具有相同体积和相同 Dehn 不变量的任何两个形状都是 scissors congruent 的。而后在 1980 年,汉斯 · 德布伦纳(Hans Debrunner)指出,任何平铺空间的四面体都必须具有 0 的 Dehn 不变量——这与立方体相同。从这些发现可以得知四面体必须和立方体保持 scissors congruent 才能填充整个空间。

所以如果你想找到一个能够填满空间的四面体,则其 Dehn 不变量为零。但要找齐所有这样的四面体并不是一件容易的事。


此时,第二个相关问题就出现了。

四面体包含了六个沿成对的面相交的边缘形成的「二面角」。1976 年,约翰 · 康威(John H. Conway)和 Antonia J. Jones 提出:是否有可能确定所有四面体,这些四面体的所有二面角的度数均为有理数?也就是说它们可以整齐地写成分数?

「这个问题可能在古代就曾被提出,但具体时间无从得知」,加州大学圣地亚哥分校的 Kiran Kedlaya 表示。在近期的一份研究中,Kedlaya、Poonen 和其他两位合著者证明,恰好是 59 个孤例加上两个四面体无限族具备符合上述条件的二面角。

研究详情:https://www.quantamagazine.org/mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/

最重要的是,任何具有有理二面角的四面体的 Dehn 不变量均为 0,这意味着它与立方体是 scissors congruent 的,并且有平铺空间的可能性。

这就引出了 MIT 本科生们与 Poonen 共同进行的这项工作:研究这些四面体哪些发挥了它们平铺空间的潜力。

一月中旬,团队证明了有一个孤立的有理四面体不能填满空间。该结果标志着第一次有人发现了这种四面体,它与立方体「scissors congruent」,但无法填充空间。

参考链接:https://www.quantamagazine.org/mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/
理论麻省理工学院(MIT)
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