十一年磨一剑:中科大数学教授成功证明微分几何学两大猜想

11 月 8 日,新华社报道称,中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵在微分几何学领域取得重大突破,成功证明了「哈密尔顿 - 田」和「偏零阶估计」这两个国际数学界 20 多年悬而未决的核心猜想。论文从写作到发表历时 11 年。

微分几何学是数学的一个分支学科,它主要是以分析方法来研究空间(微分流形)的几何性质。应用微分学来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支,差不多与微积分学同时起源于 17 世纪。

微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的,欧拉、蒙日、拉格朗日以及柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。

在微分几何学领域,陈秀雄和王兵团队的研究方向是「里奇流(Ricci flow)」的收敛性。

什么是里奇流?在微分几何中,「里奇流」是一种固有的几何学流动,它的主要思想是让流形随时间变形,即是让度规张量随时间变化,观察在流形的变形下,Ricci 曲率是如何变化的,以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是 Hamilton-Ricci 流方程,是一个拟线性抛物型方程组。

里奇流以意大利数学家格雷戈里奥 · 里奇 - 库尔巴斯托罗(Gregorio Ricci Curbastro)的名字命名,由美国数学家理查德 · 哈密顿(Richard Hamilton)于 1981 年首次引入,也称里奇 - 哈密顿流。这个工具同时被俄罗斯数学家格里戈里 · 佩雷尔曼(Григорий Яковлевич Перельман)用于解决庞加莱猜想。

对于普通人来说,这种书面解释可能有点抽象。因此王兵教授给了我们一个生动的比喻:如果吹一个气球,气球会不断膨胀,我们可以用「里奇流」来研究它空间的变化,最后得到一个「尽善尽美」的理想结果。王兵教授还提到,「大到宇宙膨胀,小到热胀冷缩,诸多自然现象都可以归结到空间演化」。

两位教授关于高维凯勒里奇流收敛性的论文发表在《微分几何学杂志(Journal of Differential Geometry)》上,该论文率先解决了哈密尔顿—田猜想和偏零阶估计猜想。《Journal of Differential Geometry》是微分几何领域最高级别的专业期刊,主编是国际数学领袖丘成桐教授。

论文链接:https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1599271253

这篇论文引入了很多新思想和新方法,对几何分析,尤其是里奇流的研究产生了深远的影响。《科技日报》报道称,利用这篇论文的结果,陈秀雄、王兵和孙崧给出丘成桐稳定性猜想基于里奇流的新证明。此外,该论文的核心思想也被王兵和李皓昭推广到平均曲率流的研究中,并成功解决了著名的延拓性猜想。

新华社的报道中提到,这项研究历时 5 年,论文篇幅长达 120 多页。由于审稿人需要花大量时间去了解新的概念和方法,论文的审稿又花了 6 年,近期才正式发表。审稿人评论说,这篇论文是几何分析领域的重大进展,将激发诸多相关研究。菲尔兹奖获得者西蒙 · 唐纳森称赞说,这是「几何领域近年来的重大突破」。

人物简介

陈秀雄教授是中国科学技术大学「吴文俊讲席教授」、国际著名几何分析学家,2018 年成为上海科技大学数学科学研究所的创始所长。他 1987 年毕业于中科大数学系,随后就读于中国科学院研究生院,获硕士学位。1989 年由国家保送去美国宾夕法尼亚大学攻读博士和博士后,并获美国国家科学基金资助。

图源:https://www.shanghaitech.edu.cn/2019/0626/c1001a43342/page.htm

陈秀雄教授主要的研究领域是大范围微分几何及非线性偏微分方程。2014 年,陈秀雄教授与英国数学家唐纳森、中科大校友孙崧博士合作,成功解决了被誉为「复几何领域自卡拉比猜想解决后最重要的问题」的「丘成桐猜想」。《美国数学会杂志》审稿人评价说:「陈 - 唐纳森 - 孙的证明是突破性的,它不仅解决了一个基本性的问题,同时还发展了许多新颖有力的工具,以揭示卡勒几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。」

之后,陈秀雄、西蒙 · 唐纳森和孙崧凭借他们在《美国数学会杂志》上连续发表的三篇论文《Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I, II and III》,获得了 2019 年奥斯瓦尔德 · 维布伦(Oswald Veblen)几何奖。此外,陈秀雄还荣获了 2019 年度西蒙斯学者奖。

本次突破的另一位主要研究者是中科大数学科学学院的王兵教授。1998 年王兵入学中科大少年班学院,2003 年赴美,求学于威斯康星大学麦迪逊分校数学系,于 2008 年博士毕业。此后历任普林斯顿大学讲师、石溪大学西蒙斯几何与物理中心研究助理教授以及威斯康星大学麦迪逊分校助理教授、副教授(终身教职)。2018 年王兵教授回到中科大数学科学学院工作。

王兵教授的研究专长是几何流,特别是凯勒里奇流、里奇流和平均曲率流等。主要研究方向包括微分几何、代数几何、偏微分方程。

参考链接:
http://www.xinhuanet.com/tech/2020-11/09/c_1126714332.htm
http://stdaily.com/index/kejixinwen/2020-11/05/content_1040775.shtml
https://www.shanghaitech.edu.cn/2018/1122/c1001a36340/page.htm
http://news.ustc.edu.cn/2019/0621/c15884a387499/page.htm
理论几何学中科大数学
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