贾恩东作者林亦霖校对王菁编辑

一文读懂正态分布与贝塔分布

本文通过案例介绍了正态分布和贝塔分布的概念。

正态分布

正态分布,是一种非常常见的连续概率分布,其也叫做常态分布(normal distribution),或者根据其前期的研究贡献者之一高斯的名字来称呼,高斯分布(Gaussian distribution)。正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。

各种各样的心理学测试结果和物理现象的观测值,比如光子计数等都被发现近似地服从正态分布。甚至生活中很多现象的表征结果也符合正态分布的分布规律。尽管这些现象的根本原因经常是未知的,甚至被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布,但这个变量的采样分布均值仍会近似服从正态分布。

正态分布的概率密度函数呈左右对称的钟形,其具体表达式为:

因为正态分布是如此的常见而这个式子是如此的奇怪,我们打算重温高斯当年的推导过程,但部分细节不会那么严谨的证明,只是带领大家看看高斯当年的思路是如何的。

首先,高斯事先假定了如下条件,才得到了正态分布的连续密度函数。

即: 误差分布导出的极大似然估计 = 算术平均值

这里我们把全部过程用直白的语言复述一遍。

贝塔分布

贝塔分布,beta分布,简单来说,就是一个事件出现的概率的概率密度分布。

举个例子,篮球比赛的三分命中率是衡量篮球后卫运动员很重要的一个指标。通过过去的历史经验,我们知道运动员的三分命中率很难超过40%。假如老张是一个优秀老练的篮球后卫,其过去历史的三分命中率是35%,总投数为10000次,命中次为3500次。请问他在新赛季刚开始的时候,得到了一次三分投球机会,请问他这次投中的概率服从什么分布呢?

我们必须清楚,这个概率一定不是确定的,而是服从某种分布。这个概率密度分布函数应该在0.35处最大,沿两边逐渐递减。

这个概率就服从beta分布。确切的说,是服从

还有个运动员小张,而小张很年轻也很优秀,他的历史三分命中率也是35%,但是总投数为1000次,命中次数为350次。请问他在新赛季首投三分,命中概率的分布和老张一样吗?

明显不一样!虽然他们的历史投球命中率都是35%,但是我们直觉认为老张比小张更靠谱,老张首投命中的概率密度分布应该在0.35附近高于小张的。事实上,我们可以迅速借助python的scipy库中内置的beta统计方法。

我们来看一下图像。

的确如此。那么beta分布的具体表达式是什么呢?

关于伽马函数和贝塔函数,这里我们不做赘述。

需要指出的是,看起来beta分布的概率密度函数和高斯分布的曲线很像,实则不然。

再举个例子,假如老张的孙子也想做做运动员,老张煞有介事的统计了小小张的历史三分投数,为5投1中。问他下一次投球,也就是第六次投球,命中的概率的分布是怎样的?如果过去是5投2中,5投3中,和5投4中呢?

可以看到,beta分布的PDF和高斯分布的曲线形状差别可大了。

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入门贝塔分布正态分布
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