相对论也没想到,自己有生之年还可以被拿来证明勾股定理。
在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a 和 b,斜边长度是 c,那么可以用数学语言表达为「a²+b²=c²」。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/c4f68345-e95b-4b72-a892-d192544d1229/640.gif)
勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一,现存几百种证明方法。不过,用爱因斯坦相对论中的质能方程证明勾股定理,是怎样的一个过程?![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/1a11c066-92ab-4e8d-8fd7-4f3529ddbf6c/640.png)
6 月 17 日晚间,一位匿名的知乎用户发布提问「如何看待人教版教材疑似出现低级错误,用爱因斯坦相对论证明勾股定理?」,提到在人教版数学八年级下册的自读课本中,出现了「爱因斯坦对勾股定理的证明」的相关内容。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/2bbfeb2e-bb80-4805-8962-c14c37804609/640.jpeg)
教材上这样写道:「2005 年是爱因斯坦建立相对论 100 周年,爱因斯坦在相对论中给出了一个著名的质能方程 E=mc²,其中 E 表示物质所含的所有能量,m 是物质的质量,c 是光速,这个质能方程是现代制造核武器、核电站的理论基础。」紧接着话锋一转,这本教材展示了爱因斯坦用相对论证明勾股定理的详细过程:![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/a8730817-b283-4205-a9a7-b300cfdaaf36/640.png)
首先,假设某一直角三角形的三条边为 a、b、c,同时设这一直角三角形的面积为 E,根据相对论质能方程可知:E=mc²。然后,从直角顶点出发作斜边 c 的垂线段。此时,这一直角三角形被分割成为了两个小三角形,它们的面积分别为:![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/f16aaf5e-032e-4965-bb82-0c16e8fb6663/640.png)
鉴于 E=E(a)+E(b),即 mc²=ma²+mb²。只需要约去式子两边相同的 m,可得 c²=a²+b²。乍一看,似乎有点道理。也就是说,成功地用相对论质能方程证明了勾股定理?![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/2cb7ec71-f7ec-4154-8f8c-f933f03d5cc1/640.png)
在证明过程之后,教材编撰者特别提到,爱因斯坦随后发表了这个证明,并且「震惊了国际数学界」。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/f7adb046-21b9-4f67-a1eb-8b026126217f/640.png)
「大家发现原来相对论有这么大的威力。后来德国著名的数学刊物 Mathematische Annalen 聘请爱因斯坦去做了多年的主编。」等等,为什么质能方程里的 m 可以随便约掉,真空光速 c 和斜边长 c 也变成了一回事?看完这个头头是道的证明过程以后,许多网友表示「我裂开了」,并缓缓打出了一个问号:![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/9a36dd79-3a0c-4eb3-90bc-3989728dba9e/640.png)
虽然一眼看起来就是很不靠谱,但大家也尝试分析了一下教材上出现这种低级错误的原因。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/83670cf0-a3e4-445b-a87f-1333aa364885/640.png)
知乎用户 @卢健龙表示:「用量纲分析和相似三角形来证明勾股定理本来是一个很巧妙的思路。将大的直角三角形以斜边上的高分成两个小直角三角形后,三个直角三角形是互为相似三角形的,它们各自的面积正比于各自斜边边长的平方(来源于量纲分析),且三者的系数相等(来源于相似性)。将这个共同的系数记为 m,将三个直角三角形的斜边长度分别记为 c、a 和 b,便有了等式:mc²=ma²+mb²,约去非零系数 m 便得到了勾股定理。题目中课本的编写者可能是看到『mc²』和『爱因斯坦』等字眼,便自作聪明地将这个证明与相对论中的质能方程 E=mc² 联系了起来。这也体现了编写者自己并没有真正理解这个证明的思路,只是根据一知半解的主观臆想去脑补和传播错误信息。」也有人认为,这是翻译教材时出错的结果。知乎用户 @张峻铭表示:「我估计是翻译的老师意淫出了这么一个过程。」![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/fb4d0bed-2b31-4666-8740-0cd15e170338/640.png)
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知乎用户 @张峻铭:先不说把光速和斜边长混淆起来多么可笑了,即便这个过程是对的,我印象里相对论的推导也是用到了勾股定理来着,这样难道不算循环论证?经过一番查证,我们得知,爱因斯坦确实证明过勾股定理,但和质能方程真的没什么关系。这是另外一个版本的经历,故事还要从他 12 岁说起……根据 The NewYorker 在 2015 年刊发的一篇报道,1949 年,爱因斯坦在美国的一本文学杂志《星期六评论》上发表文章,回忆了自己童年的两个重大时刻。12 岁时,爱因斯坦得到了一本「关于欧几里得平面几何的小册子」,里面所提到的毕达哥拉斯定理(也就是勾股定理)令他着迷。最终他证明了这一定理,并在文章中提到自己使用的是「三角形的相似性」。后人尝试还原了这个过程。当我们从直角顶点作垂线段时,原三角形就被分成了两个小三角形。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/0dd162a6-59f9-41ef-861f-b06c16c4b567/640.png)
因为它们对应的角是相等的,对应的边长也是等比的,所以我们称之为「相似」。因此,这三个三角形的面积可表示为 fc、fa、fb,显然 fc=fa+fb。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/9f61c2ab-124e-41a8-a64b-81e481b20c7c/640.png)
如下图所示,a²、b²、c² 分别代表由三角形斜边形成的正方形的面积。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/86dc50b2-7428-44bd-b03d-1dc69350fa55/640.png)
注意,在相似性的前提下,每一个正方形的面积都与对应的三角形面积有着等比关系。![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/827f0073-696f-41b2-bb2d-bfa556265216/640.png)
当然,由于年代已久,我们无从得知幼年的爱因斯坦具体是如何证明勾股定理的,也无从得知他当年的证明方法是否独树一帜。但总归和相对论没有任何联系。更重要的是,这一错误出现在义务教育阶段的课本上,购买了这本教材的学生,会不会因此产生理论认知上的偏差呢?![](https://image.jiqizhixin.com/uploads/editor/f48c2f45-fbc0-436c-a81c-3e27c22cc076/640.png)
https://www.zhihu.com/question/401988398https://www.newyorker.com/tech/annals-of-technology/einsteins-first-proof-pythagorean-theorem