机器之心原创

2020/06/04 17:17

魔王张倩报道

数学表达式一键变图，CMU开发实用工具Penrose，堪称图解界LaTeX

「有 A、B 两个集合，A 与 B 相交，C 是 A 与 B 的交集，分别将三个集合命名为 Circles、Diagrams、Venn Diagrams。」给出这样一段描述，你要怎么作图？先画两个相交的圆，然后各自命名？太麻烦了！卡内基梅隆大学开发的一款新工具可以帮你自动生成。

在有些人眼里，数学公式就是一堆数字和符号，但在另一些人看来，这些数字和符号是可以动的，而且极富美感。为什么会有这种差距？那是因为对于后者来说，这些数字和符号的背后是一幅灵动的图，他们可以根据公式约定的规律进行变换，让人感受到数学规律带来的美感。

但问题在于，不是每个人都有这么好的「脑补」能力，能将数学公式自动想象成图。因此，我们需要借助于工具。

说到工具，你可能想到的是 Adobe Illustrator 等广泛使用的画图工具。没错，这些工具确实好用，但未免有点繁琐，你要不断地花时间手动调整坐标等信息。

有没有简单一点的方法呢？类似于「我来说，你来画」那种。卡内基梅隆大学开发的 Penrose 就是这样一款工具。

你只需要描述一些数学关系或输入数学表达式，该软件就能自动帮你画图，从而将抽象的数学公式转化为直观的图，文章开头给出的只是一个简单的例子。如果你不想用圆来表示上述关系，软件还可以帮你换成箭头表示。

不同于普通的图形计算器，你输入的表达式不仅限于基本函数，也可以是来自任何数学领域的复杂关系。

「在设计之初，我们问自己『人们是如何在脑海中将数学公式转换为图像的？』」卡内基梅隆大学计算机科学系博士生 Katherine Ye 表示。「我们系统的秘密武器就是让人们能够很容易地向电脑『解释』这一转换过程，然后将比较困难的作图过程留给计算机。」

为了让计算机理解人类所描述的关系，研究团队还专门开发了一种编程语言：

如上图所示，研究者用自己设计的编程语言表述了几个集合的包含关系，即使没学过这种编程语言的同学也能读懂。根据这些描述可以生成如下图形：

这款软件的名字来源于著名数学家、物理学家罗杰 · 彭罗斯（Roger Penrose）。彭罗斯以善用图表交流复杂的数学和科学思想而闻名。

「想象一下，你从图书馆的书架上拿下一本尘封已久的数学书，将上面的内容输入计算机，然后就能得到一本带插图、更容易理解的新书」，这就是该研究团队的愿景，Penrose 只是迈向这个愿景的第一步。研究人员将在 SIGGRAPH 2020 大会上展示 Penrose。不过，Penrose 目前还处在开发阶段，因此暂时无法上手。

论文地址：http://penrose.ink/media/Penrose_SIGGRAPH2020.pdf
GitHub 地址：https://github.com/penrose/penrose

这款工具到底有多好用

Penrose 可以把抽象的数学表示转化成一或多个不同风格的视觉表示，研发团队在视频 demo 中展示了对多个不同领域数学表达式的转化效果。

比如，几何领域：

线性代数：

集合论：

函数：

看了该研究团队给出的 demo 之后，有人称赞道，「这款工具可能变革科学和数学交流。」

还有人将其比作「科学图表界的 LaTex」：

那么，用户要怎么操作才能实现上述效果呢？

界面和基本功能

我们首先来看 Penrose 的界面。

如下图所示，界面顶部是该工具的基本功能和选项。

左侧第一个下拉框：表示用户试图转化的数学公式所属的领域，上图示例显示的是「集合论」（set theory）；
左侧第二个框：可供用户选择想要生成的图样式，上图选择的是维恩图（venn），用户可以点击该下拉框，选择自己喜欢的样式；

右侧「run」按钮：点击该按钮，等待几秒，即可得到左侧数学内容所对应的图。

只选择数学领域还不够，用户还需要在界面左侧填充数学内容。这里需要注意的是界面第二行的「sub」、「sty」、「dsl」按钮。

Penrose 的语言框架包含三部分：Domain schema（dsl）、Substance program（sub）和 Style program（sty）。

如下图所示，这三部分分别表示：

dsl：数学领域中可用的对象、关系和符号；
sub：填充数学内容；
sty：从数学表述到视觉表示。

用户可以逐个点击这些按钮，填充所需的数学内容，选择所需的视觉表示形式。

高阶优化操作

说完了基本功能，我们再来看「优化」操作。

右下方「resample」按钮：如果你对生成的图不满意，点击该按钮，即可重新生成图；
「autostep」按钮：实现图的自动生成，如果你想对图进行调整，只需禁用该功能即可。

UI 界面中的优化过程。

Penrose 背后的技术

Penrose 团队设计此工具的目标是：

以用户熟悉的方式表达数学对象；
系统不局限于固定的某些领域；
对相同的数学内容进行不同的可视化展示；
视觉复杂度方面不存在内在限制；
速度快，支持迭代工作流；
为制图所做的努力应该是可泛化和可重用的。

基于以上目标，该团队制定了以下组织原则：

通过从数学对象到视觉图标的映射来规定图；
通过解决相关的约束优化问题来合成图。

工作流程

下图展示了 Penrose 的工作流程：

第一阶段：用编程语言指定数学对象和视觉表示

Penrose 将数学内容与视觉表示分离开来，并使用 language-based specification 来提供该分离所需的抽象。

如前所述，Penrose 为数学内容与视觉表示提供了两种不同的语言：Substance 和 Style。

Substance 借助精确的断言（assertion）来诠释标准的数学表述，参见下图示例：

第二阶段：基于优化的合成

Penrose 使用约束优化来合成与给定描述相对应的图。这个方法主要是受到手绘图的启发：将视觉图标放在画布上，不断地调整直到无需再改进。

此外，Penrose 用户界面提供了插件接口，方便调用 Substance 和 Style 中的外部代码，从而提供系统级的可扩展性。该插件系统可以帮助用户集成可用于解决逻辑或图难题的外部代码。

目前，该项目已发布在 GitHub。不过 Penrose 团队表示，目前版本处于早期阶段，仍在持续开发中。

感兴趣的同学可以访问 Penrose 网站，跟进更多信息。

网站地址：http://www.penrose.ink/

工程工具画图可视化

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来源：百度百科

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