魔王、杜伟报道

一周时间解决数学界「康威扭结」难题,这个数学博士小姐姐太强悍

困扰扭结理论领域数十年的「康威扭结是否为平滑 slice」的问题终于得到了解答!Lisa Piccirillo 在不到一周的时间里解答了这个难题。

4 月 12 日,当代传奇数学家、「生命游戏」发明者约翰·何顿·康威(John Horton Conway)因新冠肺炎去世,享年 82 岁。这位享誉海外的数学家一生中在组合博弈论、数论、群论、扭结理论等领域都做出了重大贡献,他在扭结理论领域提出了亚历山大多项式的新变式,现在被称为康威多项式。这个概念在 20 世纪 80 年代成为新式扭结多项式工作的核心。

亚历山大–康威多项式。

与此同时,康威多项式始终伴随着一个疑问,即康威扭结是否属于更高维扭结(higher-dimensional)的平滑 slice。「Sliceness」是扭结理论家针对更高维空间中扭结提出的一个自然问题,数学家已经能够回答具有 12 个或更少缠结(crossing)的数千个扭结的这一问题。但几十年来,具有 11 个缠结的康威扭结问题却一直未能得到解答。

2018 年夏天,博士就读于德克萨斯大学奥斯汀分校数学系的 Lisa Piccirillo 听说了这个数学问题,并表示她不认为这是个真正的数学问题。在不到一周的时间内,Piccirillo 便有了答案:康威扭结不是「平滑 slice」。

对此,德克萨斯大学奥斯汀分校数学系的一位教授 Cameron M Gordon 惊呼:Lisa Piccirillo 的这一证明是可以发表在《数学年刊》(Annals of Mathematics)上的重大研究了。

Lisa Piccirillo 于 2018 年 10 月在《数学年刊》提交了一篇「康威扭结非平滑 slice」的论文并被接收。这篇论文于 2020 年 2 月正式发表。


论文链接:https://arxiv.org/pdf/1808.02923.pdf

对康威扭结问题的解答为 Lisa Piccirillo 赢得了麻省理工学院(MIT)的 Tenure-track 职位,为今后的教职生涯铺平了道路。

康威扭结是否平滑 slice 为何如此重要?

康威扭结是否平滑 slice 的问题之所以如此闻名且重要,并不仅仅是因为它长时间内未得到解答。

平滑 slice 扭结为数学家提供了一条探索四维空间奇特属性的途径,二维球面在四维空间中可以扭结,有时会被压皱而无法变得平滑。印第安纳大学(Indiana University)的一位名誉教授表示:「Sliceness 与四维拓扑结构的一些最深层问题息息相关。」

此外,曾指导过 Lisa Piccirillo 本科毕业论文的波士顿学院数学系教授 Joshua Greene 也表示:「康威扭结是否为平滑 slice 的问题已经成为扭结理论领域大量进展的检验标准。」

扭结问题

首先我们来看什么是扭结理论。

扭结理论 (Knot theory) 是拓扑学的一个分支,研究扭结的拓扑学特性。

在普通人看来,扭结只是带有两个末端的绳子,而在数学家眼中,这两个末端是连在一起的,使得扭结无法被解开。在过去的一个世纪中,扭结启发了从量子物理到 DNA 结构,以及三维空间拓扑中的诸多课题。

1990 年,康威在课堂上解释为什么两个扭结无法相互抵消。

但是,如果把时间算作一个维度的话,世界就是四维的,那么我们就要问是否存在 4D 空间中的扭结理论。而这并不是简单地把 3D 空间中的扭结放到 4D 空间中:进入四维空间后,如果绳结在第四个维度中重合,扭结就会被解开。

要想在四维空间中制造扭结,你需要一个二维球面,而不是一维线圈。就像三维空间提供了构建扭结的足够空间,但却没有提供解开扭结的足够空间一样,四维空间为扭结球面也提供了类似的环境。

我们很难对 4D 空间中的扭结球面进行可视化,但这有助于思考 3D 空间中的普通球面。从球面中穿过,你会看到不打结的绳圈。而如果在 4D 空间中穿过扭结球面,你就会看到打结的绳圈(根据穿过的位置,也有可能是不打结的绳圈或多个绳圈的连接)。通过穿过扭结球面得到的任何扭结都叫做「slice」。一些扭结并非 slice,例如三维扭结「三叶结」。

slice 扭结「为三维和四维扭结理论搭建了桥梁」。

但是在四维空间中存在一些新特点:4D 拓扑中存在两个不同版本的 slice。1980 年代早期,数学家发现 4D 空间不仅包含我们直观可见的平滑球面,还包含无法变得平滑的褶皱球面。哪些扭结是 slice 的问题取决于你是否选择把这些褶皱球面囊括在内。

这些奇怪的球面并非四维拓扑的 bug,而是特点。属于「拓扑 slice」但并非「平滑 slice」的扭结,意味着这些扭结是褶皱球面的 slice,而不是平滑球面的 slice,这使得数学家构建了普通四维空间的「奇特」版本。这些四维空间的存在将第四个维度与其他维度区分开来。

sliceness 的问题就是这些奇特四维空间的「最低维探索」。

扭结中的特例:康威扭结

在过去的几十年中,数学家发现各种各样属于拓扑 slice 但非平滑 slice 的扭结。但是在具备 12 个或更少缠结的扭结中并未出现太多此类扭结,除了康威扭结。

数学家找出了具备 12 个或更少缠结的扭结的 slice 状态,但康威扭结是个例外。

20 世纪 50 年代,少年康威对扭结产生了兴趣,并以一种简单的方式列出具备多达 11 个缠结的扭结(之前最多只有 10 个缠结)。

20 世纪 80 年代,数学家发现康威扭结是拓扑 slice,但他们无法确定它是否为平滑 slice。数学家认为康威扭结并非平滑 slice,因为看起来缺乏平滑 slice 通常具备的「ribbonness」特征。但是又没有一种方法能够证明康威扭结不是平滑 slice。

也就是说,康威扭结有一系列变体。如果你在纸上画康威扭结,然后剪去纸的某一个角并翻折,然后重新加入未扎紧的末端,就能得到 Kinoshita-Terasaka 扭结。

康威扭结、Kinoshita-Terasaka 扭结和 Piccirillo 扭结图示。

问题在于新得到的 Kinoshita-Terasaka 扭结是平滑 slice,而康威扭结和它非常接近。于是数学家尝试对其使用所有检测非 slice 扭结的工具(扭结不变量)。

康威扭结的难点就在于,尽管每出现一个新的不变量,数学家就用它检测康威扭结,但是仍然无法检测出来康威扭结到底是不是 slice。

Piccirillo 认为康威扭结位于这些不同工具的盲区。

Lisa Piccirillo 的解决之道

Piccirillo 并不认为自己是扭结理论学家。「我喜欢三维和四维形状,而与这些相关的研究都和扭结理论有较强关联,因此我也做了一点扭结理论研究。」她在一封邮件中这样写道。

Piccirillo 遇到康威扭结问题时,正在思考除了突变以外两个扭结产生关联的方式。每一个扭结都有一个四维形状,叫做迹(trace)。它是通过将扭结放置在 4D 球体的边界,然后沿着扭结在球体上的形态来实现的。迹「用一种强大的方式编码了扭结」,Gordon 表示。

不同的扭结可以具备相同的四维迹,数学家已经发现这些迹 sibling 通常具备相同的 slice 状态,要么都是 slice,要么都不是。但是 Piccirillo 和莱斯大学博士后 Allison Miller 证明,对于研究 sliceness 所用的所有扭结不变量而言,这些迹并非完全相同。

这指引了 Piccirillo 提出一种策略,来证明康威扭结并非 slice:如果她能够为康威扭结构建一个迹 sibling,则这个迹应该比康威扭结能够更好地与 slice 不变量配合。

构建迹 sibling 是件挺麻烦的事,不过 Piccirillo 在这方面是专家。

通过结合聪明的旋转(clever twist),Piccirillo 构建了一个复杂的扭结,它具备与康威扭结相同的迹。而 Rasmussen』s s-invariant 证明该新纠结并非平滑 slice,因此康威扭结也不是。

Gordon 认为「这是非常优美的证明」。没人想到 Piccirillo 构建的扭结会屈服于 Rasmussen』s s-invariant,而这确实奏效了……太令人惊讶了。」

扭结迹是一种出现数十年的经典工具,而 Piccirillo 对此的理解比其他人都更加深刻。她的工作向拓扑学家证明了,扭结迹被严重低估了。「她捡起了本已蒙尘的工具,现在其他人也跟上来了。」

人物简介

Lisa Piccirillo 本科毕业于波士顿学院,博士毕业于德克萨斯大学奥斯汀分校,现为布拉迪斯大学(Brandeis University)NSF 博士后研究员以及麻省理工学院数学系 CLE Moore 讲师。她的主要研究方向为三维和四维流形以及扭结调谐(knot concordance)。

Lisa Piccirillo。

原文链接:https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/
入门康威多项式扭结结论
相关数据
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博弈论,又译为对策论,或者赛局理论,应用数学的一个分支,1944年冯·诺伊曼与奥斯卡·摩根斯特恩合著《博弈论与经济行为》,标志着现代系统博弈理论的的初步形成,因此他被称为“博弈论之父”。博弈论被认为是20世纪经济学最伟大的成果之一

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