困扰扭结理论领域数十年的「康威扭结是否为平滑 slice」的问题终于得到了解答！Lisa Piccirillo 在不到一周的时间里解答了这个难题。
4 月 12 日，当代传奇数学家、「生命游戏」发明者约翰·何顿·康威（John Horton Conway）因新冠肺炎去世，享年 82 岁。这位享誉海外的数学家一生中在组合博弈论、数论、群论、扭结理论等领域都做出了重大贡献，他在扭结理论领域提出了亚历山大多项式的新变式，现在被称为康威多项式。这个概念在 20 世纪 80 年代成为新式扭结多项式工作的核心。
与此同时，康威多项式始终伴随着一个疑问，即康威扭结是否属于更高维扭结（higher-dimensional）的平滑 slice。「Sliceness」是扭结理论家针对更高维空间中扭结提出的一个自然问题，数学家已经能够回答具有 12 个或更少缠结（crossing）的数千个扭结的这一问题。但几十年来，具有 11 个缠结的康威扭结问题却一直未能得到解答。2018 年夏天，博士就读于德克萨斯大学奥斯汀分校数学系的 Lisa Piccirillo 听说了这个数学问题，并表示她不认为这是个真正的数学问题。在不到一周的时间内，Piccirillo 便有了答案：康威扭结不是「平滑 slice」。对此，德克萨斯大学奥斯汀分校数学系的一位教授 Cameron M Gordon 惊呼：Lisa Piccirillo 的这一证明是可以发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上的重大研究了。Lisa Piccirillo 于 2018 年 10 月在《数学年刊》提交了一篇「康威扭结非平滑 slice」的论文并被接收。这篇论文于 2020 年 2 月正式发表。
论文链接：https://arxiv.org/pdf/1808.02923.pdf对康威扭结问题的解答为 Lisa Piccirillo 赢得了麻省理工学院（MIT）的 Tenure-track 职位，为今后的教职生涯铺平了道路。康威扭结是否平滑 slice 的问题之所以如此闻名且重要，并不仅仅是因为它长时间内未得到解答。平滑 slice 扭结为数学家提供了一条探索四维空间奇特属性的途径，二维球面在四维空间中可以扭结，有时会被压皱而无法变得平滑。印第安纳大学（Indiana University）的一位名誉教授表示：「Sliceness 与四维拓扑结构的一些最深层问题息息相关。」此外，曾指导过 Lisa Piccirillo 本科毕业论文的波士顿学院数学系教授 Joshua Greene 也表示：「康威扭结是否为平滑 slice 的问题已经成为扭结理论领域大量进展的检验标准。」扭结理论 (Knot theory) 是拓扑学的一个分支，研究扭结的拓扑学特性。在普通人看来，扭结只是带有两个末端的绳子，而在数学家眼中，这两个末端是连在一起的，使得扭结无法被解开。在过去的一个世纪中，扭结启发了从量子物理到 DNA 结构，以及三维空间拓扑中的诸多课题。
1990 年，康威在课堂上解释为什么两个扭结无法相互抵消。但是，如果把时间算作一个维度的话，世界就是四维的，那么我们就要问是否存在 4D 空间中的扭结理论。而这并不是简单地把 3D 空间中的扭结放到 4D 空间中：进入四维空间后，如果绳结在第四个维度中重合，扭结就会被解开。要想在四维空间中制造扭结，你需要一个二维球面，而不是一维线圈。就像三维空间提供了构建扭结的足够空间，但却没有提供解开扭结的足够空间一样，四维空间为扭结球面也提供了类似的环境。我们很难对 4D 空间中的扭结球面进行可视化，但这有助于思考 3D 空间中的普通球面。从球面中穿过，你会看到不打结的绳圈。而如果在 4D 空间中穿过扭结球面，你就会看到打结的绳圈（根据穿过的位置，也有可能是不打结的绳圈或多个绳圈的连接）。通过穿过扭结球面得到的任何扭结都叫做「slice」。一些扭结并非 slice，例如三维扭结「三叶结」。
slice 扭结「为三维和四维扭结理论搭建了桥梁」。但是在四维空间中存在一些新特点：4D 拓扑中存在两个不同版本的 slice。1980 年代早期，数学家发现 4D 空间不仅包含我们直观可见的平滑球面，还包含无法变得平滑的褶皱球面。哪些扭结是 slice 的问题取决于你是否选择把这些褶皱球面囊括在内。这些奇怪的球面并非四维拓扑的 bug，而是特点。属于「拓扑 slice」但并非「平滑 slice」的扭结，意味着这些扭结是褶皱球面的 slice，而不是平滑球面的 slice，这使得数学家构建了普通四维空间的「奇特」版本。这些四维空间的存在将第四个维度与其他维度区分开来。sliceness 的问题就是这些奇特四维空间的「最低维探索」。在过去的几十年中，数学家发现各种各样属于拓扑 slice 但非平滑 slice 的扭结。但是在具备 12 个或更少缠结的扭结中并未出现太多此类扭结，除了康威扭结。数学家找出了具备 12 个或更少缠结的扭结的 slice 状态，但康威扭结是个例外。20 世纪 50 年代，少年康威对扭结产生了兴趣，并以一种简单的方式列出具备多达 11 个缠结的扭结（之前最多只有 10 个缠结）。20 世纪 80 年代，数学家发现康威扭结是拓扑 slice，但他们无法确定它是否为平滑 slice。数学家认为康威扭结并非平滑 slice，因为看起来缺乏平滑 slice 通常具备的「ribbonness」特征。但是又没有一种方法能够证明康威扭结不是平滑 slice。也就是说，康威扭结有一系列变体。如果你在纸上画康威扭结，然后剪去纸的某一个角并翻折，然后重新加入未扎紧的末端，就能得到 Kinoshita-Terasaka 扭结。
康威扭结、Kinoshita-Terasaka 扭结和 Piccirillo 扭结图示。问题在于新得到的 Kinoshita-Terasaka 扭结是平滑 slice，而康威扭结和它非常接近。于是数学家尝试对其使用所有检测非 slice 扭结的工具（扭结不变量）。康威扭结的难点就在于，尽管每出现一个新的不变量，数学家就用它检测康威扭结，但是仍然无法检测出来康威扭结到底是不是 slice。Piccirillo 认为康威扭结位于这些不同工具的盲区。Piccirillo 并不认为自己是扭结理论学家。「我喜欢三维和四维形状，而与这些相关的研究都和扭结理论有较强关联，因此我也做了一点扭结理论研究。」她在一封邮件中这样写道。Piccirillo 遇到康威扭结问题时，正在思考除了突变以外两个扭结产生关联的方式。每一个扭结都有一个四维形状，叫做迹（trace）。它是通过将扭结放置在 4D 球体的边界，然后沿着扭结在球体上的形态来实现的。迹「用一种强大的方式编码了扭结」，Gordon 表示。不同的扭结可以具备相同的四维迹，数学家已经发现这些迹 sibling 通常具备相同的 slice 状态，要么都是 slice，要么都不是。但是 Piccirillo 和莱斯大学博士后 Allison Miller 证明，对于研究 sliceness 所用的所有扭结不变量而言，这些迹并非完全相同。这指引了 Piccirillo 提出一种策略，来证明康威扭结并非 slice：如果她能够为康威扭结构建一个迹 sibling，则这个迹应该比康威扭结能够更好地与 slice 不变量配合。构建迹 sibling 是件挺麻烦的事，不过 Piccirillo 在这方面是专家。通过结合聪明的旋转（clever twist），Piccirillo 构建了一个复杂的扭结，它具备与康威扭结相同的迹。而 Rasmussen』s s-invariant 证明该新纠结并非平滑 slice，因此康威扭结也不是。Gordon 认为「这是非常优美的证明」。没人想到 Piccirillo 构建的扭结会屈服于 Rasmussen』s s-invariant，而这确实奏效了……太令人惊讶了。」扭结迹是一种出现数十年的经典工具，而 Piccirillo 对此的理解比其他人都更加深刻。她的工作向拓扑学家证明了，扭结迹被严重低估了。「她捡起了本已蒙尘的工具，现在其他人也跟上来了。」Lisa Piccirillo 本科毕业于波士顿学院，博士毕业于德克萨斯大学奥斯汀分校，现为布拉迪斯大学（Brandeis University）NSF 博士后研究员以及麻省理工学院数学系 CLE Moore 讲师。她的主要研究方向为三维和四维流形以及扭结调谐（knot concordance）。
原文链接：https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/ 
