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86岁还在录网课:MIT教授Gilbert Strang最新「线性代数」课程上线

讲 MIT 线性代数经典课程的 Gilbert Strang 教授已经 86 岁高龄了。他的书被清华选作教材,课程吸引了国内外大批学子。如今疫情爆发,他又一个人对着摄像机录了一套新的课程,视频、PPT、文字稿都已上传。

无论你是在学校、油管、B 站还是其他地方学《线性代数》,相信你对 MIT 的 Gilbert Strang 老爷子都不会陌生。

去年,清华将「线性代数」课本改成英文教材引发热议,用的就是 Gilbert Strang 写的《Introduction to Linear Algebra》。

在 B 站上,Strang 老爷子的「线性代数 MIT 18.06」课程也达到了 60 多万的播放量(只是其中一个资源的统计数据),可以说是 B 站最火的英文《线性代数》课程。同时,这门课程也是 MIT 最受欢迎的课程之一。根据 OCW 官网统计的数据,这门课程自 2002 年第一次发布以来,总访问量已经超过 1000 万。

为什么他的教材、课程那么受欢迎?从各大平台的讨论中,我们可以总结出以下关键词:

1、实用、难度适中。知乎上有个帖子专门讨论 Gilbert Strang 的线性代数教材《Introduction to Linear Algebra》。有人表示,「Strang 的教材更加面向实际应用,难度适中,比较注重从实际问题中培养数学直觉,比较适合工程学科学生使用。」

这点是相对于国内某些教材的通病来讲的。我们通常接触到的课本一般是先给出定义,然后是定理和证明方法,很容易让非数学专业的学生失去兴趣。

而 Strang 教授的教材则是「先告诉你一些有意思的数学事实,之后告诉你我们怎么解决那些问题之中较为简单的(有一部分方法甚至是依靠尝试和数学直觉),再和你一起探究这么解决为什么对,是否存在理论基础,留一些习题让你自己去试试它真的是对的,最后再做其他的深入探究,并提炼为定理。」(引自知乎用户 @李佳繁)

2、化抽象为具体。对于数学基础不好的人来说,「线性代数」真的是一门非常抽象的课程。但从大家对 Strang 教授《线性代数》教材的评价来看,比较一致的观感是「不是很抽象」,甚至可以 「和高中对接」。

Strang 教授对线性代数的讲解过程中会插入很多例子,能让学生结合例子理解一些抽象的概念,对非数学专业的学生非常友好。有同学表示,「感觉很多概念不再是死记硬背了」。


此外,整个课程的逻辑也是循循善诱式的,它「不是上来告诉你这样做是对的,而是一步步引导你让你理解就应该是这样子。」

课讲得这么好,这位教授是什么来历呢?

Strang 教授 1934 年生于芝加哥,在加州大学洛杉矶分校取得博士学位,从 1962 年起就开始担任麻省理工学院的数学系教授,一辈子都在教书育人、笔耕不辍。去年初,他还出版了一本新书《Linear Algebra and Learning from Data》。

Strang 教授一直致力于数学教育,同时对关键的数学科目不停地提出新的见解,如 2014 年出版了新教材《微积分方程与线性代数》。2016 年,这本教科书由 MathWorks 支持做成了 55 个系列讲座,此系列讲座还包含 MATLAB 创始人 Cleve Moler 教授关于数值解的视频,值得一看。相关资源可以在 MathWorks 官网上找到。

另一方面,Strang 教授 2017 年在 MIT 又开设了一门新的本科课程 ——《数据分析、信号处理和机器学习中的矩阵方法》,该课程已于 2019 年发布至 OCW 平台上,目前在 B 站中也可观看。课程反响非常积极,主要讲了如何使用线性代数的方法去理解以及创建机器学习算法,特别面向深度学习和神经网络的应用。此课程对入门级朋友也十分友善,通过回顾线性代数、概率、统计以及优化,对深度学习多维度地做了个系统的讲解。


2020 版课程大纲

Strang 教授此次发布的课程目前只有 5 个讲座,但在此之前,原 2011 年的经典版本是专门为自学人员所设计,已发布在 MIT 的 OCW 平台上,包含 35 个讲座视频以及 36 个助教辅佐类讲解视频。感兴趣的读者可以结合着看。

下面我们来看看这门新课程的课程大纲:

导论:了解线性代数的新方式

Strang 教授在导论中表示,他开设这一门课程的目的是让大家了解奇异值的概念,这是线性代数中特别重要的一个知识点。他将矩阵分解为两个或三个部分,以方便我们更深入地了解其性质。


矩阵的列空间与向量空间中的基

Strang 教授从矩阵的列空间开始,带我们走进线性代数的世界。


这节课还讲解了列空间与行空间的基:


线性代数的 Big Picture

Strang 教授在这一节中讲解了 A 的行空间、列空间、零空间、A^T 的零空间,以及这四个子空间之间的相互关系。

正交向量

在这一节中,Strang 教授讲解了正交向量、正交矩阵及其子空间,其中涵盖了 Gram-Schmidt 正交化与最小二乘。


特征值与特征向量

特征值与特征向量是深入了解矩阵性质的重要方式之一,它们在工程与研究领域都有很多重要应用。

奇异值与奇异向量

在机器学习中,数据矩阵不是方阵,因此它们需要使用不同于特征值的另外一种方法:奇异值分解(SVD)。奇异值分解用奇异值和向量表示每个矩阵。

最后需要说明的是,除了视频和 PPT 之外,这门课程的每节课都有相应的文字稿作为参考,可以说对英文听力不好的同学非常友好。

课程地址:https://ocw.mit.edu/resources/res-18-010-a-2020-vision-of-linear-algebra-spring-2020/index.htm

入门MIT线性代数
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相关数据
奇异值分解技术

类似于特征分解将矩阵分解成特征向量和特征值,奇异值分解(singular value decomposition, SVD)将矩阵分解为奇异向量(singular vector)和奇异值(singular value)。通过分解矩阵,我们可以发现矩阵表示成数组元素时不明显的函数性质。而相比较特征分解,奇异值分解有着更为广泛的应用,这是因为每个实数矩阵都有一个奇异值分解,但未必都有特征分解。例如,非方阵型矩阵没有特征分解,这时只能使用奇异值分解。

信号处理技术

信号处理涉及到信号的分析、合成和修改。信号被宽泛地定义为传递“关于某种现象的行为或属性的信息(如声音、图像和生物测量)”的函数。例如,信号处理技术用于提高信号传输的保真度、存储效率和主观质量,并在测量信号中强调或检测感兴趣的组件。我们熟悉的语音、图像都可以看做是一种信号形式。因此,对于语音、图像的增强、降噪、识别等等操作本质上都是信号处理。

矩阵分解技术

矩阵分解是一种将矩阵简化为其组成部分的方法。这种方法可以简化更复杂的矩阵运算,这些运算可以在分解的矩阵上执行,而不是在原始矩阵本身上执行。它的衍生Non-negative matrix factorization也被用于降维等操作上。

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