思、肖清参与

看得懂的数学之美:从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

什么是数学之美?就是思考的时候忘记时间的流逝,解答或证明后无与伦比的快乐。


欧拉,历史上最重要的数学家之一,也是最高产的数学家,平均每年能写八百多页论文。我们经常能见到以他名字命名的公式与定理,可能最广为人知的便是「世界上最美的公式」欧拉公式。

先不说它的具体意义,能将自然数、虚数、π、0 和 1 这几个最基本的元素组合在一起,就是令人惊叹的美。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,同时建立三角函数和指数函数的关系,被誉为「数学中的天桥」。



这样的数学方程是极具美感的,而要构建这样的方程,整个思考与推导过程同样是非常优美的。数学最吸引人的地方,就在于这一步步推导的过程,一种拨开云雾见月明的感觉。

在本文中,我们希望通过一步步重现欧拉解巴塞尔问题的过程,体会到这种数学之美。

巴塞尔问题是一个著名的数论问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在 1644 年提出,由欧拉在 1735 年解决。由于这个问题难倒了以前许多数学家,欧拉一解出这个问题马上就出名了,当时他二十八岁。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的,为了纪念它是欧拉和伯努利家族的家乡。

文章将解释欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的,看看如何用简单的 sin(x) 函数和多项式,再借助泰勒级数的强大能力,解决这个问题。



巴塞尔问题

巴塞尔问题起先在 1650 年就提出来了,它的目标在于求解某一离散无穷数列的和,具体来说,巴塞尔问题可以描述为如下:

如果读者们还记得高数,记得无穷级数,你就会发现巴塞尔问题其实就是一个幂级数求和问题。当时很多学者都在想方法去计算这个问题,但欧拉在 28 岁时就证明了它,使得数学界非常惊叹。欧拉最初的证明方法并不一定是非常严格的,但它是非常优美的,简洁的过程与新奇的想法,使得我们能体会到「数学之美」。

欧拉最初的想法来自 sinc(πx) 函数,他将该函数定义为如下:
函数的图像如下所示,当 x 趋向于 0 时,因为 sin(x) 与 x 的速度等同,它们相除最终会收敛到 1。之所以要构造这个函数,答案就藏在它的零点,即当 sinc(πx) = 0 时 x 的所有取值。


为了理解这一点,考虑如下四次多项式的零点,很明显当 x 分别等于 𝛂 和 𝛃等常量的时候存在零点。

如果将上述展开为一般的多次方程,我们可以得到如下表达式。这里需要注意的是平方项前面的系数,它看起来有构造成巴塞尔问题的可能性,毕竟分母都是两个数相乘。
欧拉的策略就和它一样,只要构造成连乘的状态,我们就可以了解到方程的零点。如果某一个函数所有零点等同于另一个函数的所有零点,那么至少在零点附近,它们是近似的。这样就构建了个等式,只要一边有巴塞尔问题,它就是可解的。

虽然想法很好,但如果要类比巴塞尔问题,真实的展开式需要是一种超越函数(transcendental function),即变量之间的关系不能通过有限次的基本数学运算表示,例如 sin(x) 等三角函数就是超越函数。


超越函数

这种函数并不是指方程 4 那种有限的多项式函数,指数函数、三角函数及对数函数才是最出名的超越函数。

上图所示分别为指数函数,对数函数及三角函数的图像。之前已经介绍过 sinc(πx) 函数了,可以看出来,该函数的零点就是所有正负整数。

欧拉借助下面我们非常熟悉的数学转换来展开 sinc(x) 在零点的情况。
因为 sinc(πx)/πx 的零点为正负 n,其中 n 是自然数,那么根据 上文方程 3 的思想,该函数可以写为如下的连乘形式。这种形式展示了当 sinc(πx)/πx=0 时,它的所有根。
下一步只需要展开到平方项就行了,至于为什么,等一下就知道了。这个也好解决,分别用 1 和 -x^2 去乘以后面的项就行了,1 每次只能乘以一个二次项和所有零次项,才能保证它是最终二次项的系数。
现在等式右边已经完全展开了,我们可以看到平方项系数存在 1/n^2(n 为 1、2、3...),这就是最终需要计算的巴塞尔问题。但左边还没有展开,我们现在还算不出该级数的最终结果。

如果我们把等式左边的 x 移到右边,即产生了一个 x 三次方项,现在左边只剩下 sinc(πx)。现在学过泰勒展开式的你知道要怎么解了吗?只需要把 sinc(πx) 展开到 x 的立方项,那么立方项的系数肯定是相等的,因此也就能解出巴塞尔问题了。


泰勒级数

泰勒级数使用无限项连加的形式来表示某一函数,每一项都是由该函数在某一点的 n 阶导数计算得来。我们可以理解为,泰勒级数采用无穷的子项去逼近某一个连续可导函数,每一个高阶导数,都是对该值的一点点逼近,最终收敛到该函数。

图 6. 当泰勒级数的数目不断增加,它最终将收敛于其表示的那个函数。图中黑色曲线代表 sin(x) 函数。其他曲线为其对应不同阶次的泰勒展开式,也就是最高次幂分别为 1,3,5,7,9,11 和 13 的多项式。

我们还记得,需要找的是逼近 sinc(πx) 立方项的系数,图 6 中的 7 个泰勒展开式具有如下形式:


现在方程 7 整个左边可以根据泰勒展开式表示为如下,我们需要抽取出 x 平方的系数。


我们可将式 8 看做具有无穷次幂的「伪多项式」,这样的伪多项式有无穷多个根,其对应的根由式 5 给出。但我们现在不想关心它的性质,我们只想用系数解出巴塞尔问题。

联系等式左右,解决问题

通过联立式 7 和式 9 sinc(x) 展开后的二次项系数,即可得到我们最初想要解决的巴塞尔问题:


不仅如此,欧拉的推导过程产生了著名的 Wallis 乘积公式。仅需将 x = 1/2 代入式 6 并求其倒数即可得到:


现在,我们跟着欧拉解决了巴塞尔问题,整个思考过程不涉及复杂的数学技术与概念。只需要一步步跟着它的思路走,就能通过一系列巧妙的变换,解决数学难题。这样的思考过程、逻辑推理过程,正体现着数学之美。

参考链接:
https://towardsdatascience.com/on-the-beauty-of-math-f2453be9db84
https://www.bilibili.com/video/av20400157/
入门Wallis 乘积公式巴塞尔问题欧拉
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