Dan Margalit、Joseph Rabinoff作者张倩参与

一图胜千言,这本交互式线代教科书让你分分钟理解复杂概念,佐治亚理工出品

常言道,一图抵千言。为了减轻读者学数学的痛苦,机器之心曾经介绍过交互式的线性代数书、可视化的统计概率入门书以及可视化数学学习网站等。最近,美国佐治亚理工学院也推出了一本可交互的线性代数书,用大量的图和文字可视化地介绍了线性代数知识。

以下是书中的一些交互图示例:

 
该书是佐治亚理工Math 1553的配套教材,共有455页,包含了140多个交互demo,可以让读者直观地理解代数背后的几何性质。

这本书是半计算、半概念性质的,主要目标是提供一个线性代数工具库。而且更重要的是,该书提供了一个概念框架,帮助大家理解在给定情况下应该使用哪个工具。

该书的微妙之处在于,它会让你知道你应该让计算机算什么。相比之下,如何计算显得微不足道,因为计算机远比你算得好。

  • 书籍地址:https://textbooks.math.gatech.edu/ila/

  • PDF地址:https://textbooks.math.gatech.edu/ila/ila.pdf

  • 代码地址:https://github.com/QBobWatson/gt-linalg

内容总览

在开始介绍这本书的内容之前,我们先来回答一个最基础的问题:什么是线性代数?

  • 线性(linear):与线、面等有关;

  • 代数(algebra):求解包含未知数的方程。

这本书的名字突出了一个重要的主题,即几何与代数的结合。对于我们来说,从几何和代数的角度理解线性方程系统非常重要。前者是指写出求解方程,而后者是指画图、可视化。

最简单的线性方程并不难解,比如我们高中学的这种方程:

然而,现实生活中用到的线性方程往往要比这复杂得多。

工程师们需要解决包含很多变量的各种方程,下面是一个简单的例子:

通常,我们不必急于求解这个方程,只需要知道一些有关解集的信息就够了。如这个方程有解吗?解集的几何形状是什么样子?如果把上面的26改成27,方程还有解吗?

有时系数也包含参数,如下面这个特征值方程(eigenvalue equation):

在数据建模中,方程组经常没有解。在这种情况下,怎么求最佳近似解呢?

为了解答这个问题,本书分了三个部分:

1. 求解矩阵方程Ax = b

  • 用矩阵、row reduction、inverse等求解线性方程;

  • 利用解集和线性变换的几何性质从几何角度分析线性方程组。

2. 求解矩阵方程Ax = λx

  • 利用特征多项式求解特征值问题;

  • 利用相似性、特征值、对角线化以及复数理解矩阵的几何性质。

3. 求矩阵方程Ax = b的近似解

  • 利用最小二乘近似为无解方程组找到最优近似解;

  • 学习最近的向量和正交投影几何。

这本书有何亮点?

介绍完全书的大体内容,我们来看一下每个章节有何特点。

每个小节的开头都有一个「Objectives」部分,这部分列出了每个小节的基本目标以及其他一些核心信息,包括方法(Recipes)、词汇(Vocabulary words)、重要词汇(Essential vocabulary words)、定理(Theorems)和图(Pictures)等。
方法(Recipes)通常是指这一章非常简单的算法(有时也很繁琐),现实中通常用计算机来算。尽管如此,学习和实践这些算法还是非常重要的。

词汇(Vocabulary words)是指从概念上理解线性代数需要掌握的词,掌握这些词可以帮助你以更加精确的语言进行交流。书中给出了每个“词汇”的精确定义,必须学习并正确掌握。

重要词汇(Essential vocabulary words)是指构成线性代数本质的基础词汇,如「特征向量」。

定理(Theorems)精确地描述了相关目标之间的关系。要想知道在给定情境下使用哪种方法,首先要知道用哪些词来进行描述,以及哪个定理适用于这个问题。

如前所述,图是这本书最大的亮点之一。这些图形象地画出了代数后隐藏的几何性质。

当然,除了这本交互书以及导语中提到的学习资料外,机器之心的热心读者们还为我们推荐了一些优秀的线性代数学习资料,如B站上《线性代数的本质》系列视频。感兴趣的读者可以自行搜索。

入门乔治亚理工学院线性代数
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