数天前，机器之心发布了 Simon S. Du 等人的论文《Gradient Descent Finds Global Minima of Deep Neural Networks》引起了大家激烈的讨论。对此论文，读者们褒贬不一。此外，机器之心通过读者留言了解到微软研究院 Zeyuan Allen-Zhu、斯坦福 Yuanzhi Li、德州大学奥斯汀分校 Zhao Song（共同一作）稍微早些时候也发布了一篇类似的论文，但有更好的结果。后经沟通联系，机器之心对微软的这篇论文进行了跟进报道，希望能为读者提供更全面的内容参考，更好的理解两篇论文。
在细致解读微软研究院的这篇论文之前，读者们可以先了解下微软这篇论文与 Simon S. Du 等人论文的对比（详见微软这篇论文的第二页）。
最重要的区别是，Simon Du 等人证明了全连接深度网络（非 ResNet）的收敛时间关于层数 L 的依赖是不超过指数级别 2^O(L) 的，而残差网络（ResNet）是多项式级别 poly(L) 的。Simon Du 等人因此给出理论依据，判断 ResNet 的收敛性更好。本文作者指出，这样的推断是逻辑错误的，因为本文证明了全连接网络也同样在多项式级别 poly(L) 时间内收敛（所以 Simon Du 等人文中的「不超过指数」，其实是和残差网络一样的多项式）。也就是说，ResNet 相对于非 ResNet 的优势，实际上有更深层的原因，而不是像 Simons Du 文章里声称的，是指数和多项式的区别。两篇文章的其它的区别包括，Simon Du 等的人的结果，隐藏了其它的可能指数级别的参数，以及 Simon Du 的结果不能处理最常用的 ReLU 激活函数，等等。
微软的这篇论文是基于 [Li-Liang 2018] 在今年 NIPS 2018 上发表的一个深度延伸。Li 和 Liang 证明了只有一个隐藏层的神经网络，在过参数化的情况下可以找到全局最优。至于多层网络，需要开发更多的理论技术。一个具体的例子是这样的。假设训练数据不退化（相对距离为δ），那么如何证明数据传递到了最后一层，也不会发生退化？这篇论文证明了，只要过参数化（引理 4.5），那么样本传递到最后一层，相对距离依然可以有δ\/2。
下面是对微软研究院这篇论文的技术介绍：
论文：A Convergence Theory for Deep Learning via Over-Parameterization
论文地址：https://arxiv.org/pdf/1811.03962.pdf
摘要：深层神经网络（DNN）已在许多领域表现出主导性能；自 AlexNet 以来，实践中使用的神经网络越来越深，越来越宽。然而在理论方面，前人大部分的工作在关注为什么我们可以训练只有一个隐藏层的神经网络。多层网络的理论仍然不明确。
在这项工作中，我们证明了为什么常用的算法，比如随机梯度下降（SGD），可以在多项式时间内找到 DNN 训练的全局最优解。我们只做两个假设：输入数据不退化，和网络过参数化。前者意味着输入不存在两个相同的数据点有矛盾的标签；后者意味着隐藏神经元的数量足够多，也就是关于层数 L，以及样本数量 n 都是多项式级别。
作为一个具体示例，在训练集上从随机初始的权重开始，我们证明了在关于 n 和 L 的多项式时间内，SGD 就可以在分类任务中达到了 100％的准确率，也就是找到全局最优解。我们的理论可适用于最常用的 ReLU 激活函数，适用于任何光滑甚至非凸的损失函数。在网络架构方面，我们的理论至少可以适用于全连接网络，卷积网络（CNN）和残差网络（ResNet）。
神经网络在众多机器学习任务中取得了巨大成功。其中一项实验结果表明，通过随机初始化的一阶方法训练的神经网络，具有非常强的拟合训练数据的能力。从容量的角度来看，拟合训练数据的能力可能并不令人惊讶：现代神经网络总是过参数化，它们具有远多于训练样本总数的参数。因此，理论上，只要数据不退化，总会存在实现零训练误差的参数选择。
然而，从优化的角度来看，一阶方法可以在训练数据上找到全局最优解这事情「非常不简单」。大家常用的神经网络通常配备 ReLU 激活函数，这使得神经网络不仅是非凸的，甚至非光滑。与之相对的是，优化理论中，如何找到非凸、非平滑函数的哪怕是一阶、二阶临界点的收敛性也是不明确的 [Burke, 2005]，更不用提全局最优解。那么，实际训练中，随机梯度下降法（SGD）是如何在含有 ReLU 的深度神经网络中，收敛到全局最小值的呢？
这篇文章证明了，不管是全连接的深度前馈网络，是深度卷积网络 (CNN)，还是深度残差网络 (ResNet)，假设深度为 L，假设训练样本有 n 个，只要样本不退化——也就是任意两个样本之间的相对距离超过δ——那么只要神经元数量超过
，随机初始化后的 SGD 算法就可以在多项式时间内找到全局最优解。这里「找到全局最优解」的定义取决于具体任务，如果是分类问题，那么就是在 
多项式时间内得到 100% 正确率；如果是拟合问题，就是在 
多项式时间内找到拟合残差为ε的解。后者被称为线性收敛速率。
细节
这篇文章的细节其实可以由如下两个简单的定理和图片概括（文中 Sec 3.1）。假设损失函数是平方拟合（l_2 regression loss）
文中定理 3（没有马鞍点）：在一定条件下（比如 SGD 的移动路径上），神经网络目标函数的梯度模长的平方，大于目标函数值本身，除以一个多项式因子：
定理 3 说了一件很简单的事情，就是只要没有达到全局最优，那么函数梯度就一定大于零，并且函数越大，梯度的模长就越大。换言之，在 SGD 的移动路径上，只要训练损失 (training loss) 不到 0，就不会出现马鞍点，更不会出现局部最小值。这个结果本身就很特殊，因为大部分的非凸问题不满足这个性质，而过度参数化的神经网络，用 SGD 进行训练，却可以保证得到这个性质！
有了定理 3，就可以证明 SGD 收敛了么？并没有，因为如果 SGD 向梯度的反方向移动，为什么函数值会下降？「函数值会下降」在优化理论中对应了光滑性 (smoothness)。传统的优化理论中有很多关于光滑性的定义，但都需要函数至少二阶可导（可惜 ReLU 激活函数并不存在二阶导数）。这篇文章的另一个精髓，在于证明了过度参数化的神经网络满足以下的一个「半光滑性」。
文中定理 4（半光滑性）：在一定条件下（比如 SGD 的移动路径上），神经网络目标函数和其一阶近似之间的距离「很小」：
与传统光滑性不同的是，这里不等式的右边有一个关于‖ΔW‖的一阶项，文中说明，这个一阶项会随着神经元数量越来越多，变得越来越小。也就是网络参数越多，会越「光滑」，也就越容易做训练。
为了理解定理 3 和定理 4，我们可以参见文中的图片。当目标函数值在 1.3（并没有到全局最优）的时候，函数的梯度很大（定理 3），并且向梯度方向走，的确可以有效地降低目标函数值（定理 4）。
延伸
本文中关于 SGD 收敛性的证明，停留在了前馈网络（包括 CNN，ResNet 等），那么是否可以扩展到其它的更复杂的深度学习网络呢？例如在自然语言处理应用中广泛使用的递归神经网络（RNN）？作者强调了 RNN 其实是一个比 DNN 更难的问题（第三页）。在两周前，本文的作者将这个问题单独成稿，发表在了 arXiv 上（链接：https://arxiv.org/abs/1810.12065）。
目前提到的多层网络收敛性都是针对训练数据找全局最优。那么如何推广到测试数据集呢？这篇文章并没有涉及，但是在第三页援引了一个同样是这周传到 arXiv 的重要工作 [Allen-Zhu, Li, Liang 2018]：证明了过度参数化的三层神经网络的训练集最优解可以推广到测试集！具体而言，如果数据是由一个未知的三层神经网络产生的，那么使用过参数化的三层神经网络，和 SGD 进行训练，只要多项式级别那么多样本，就可以学出能在测试集上完成比如分类、拟合问题的未知网络。这个结果是对本文的一个很好的补充（链接：https://arxiv.org/abs/1811.04918）。
