在图像领域中，由于 VAE 生成的图片偏模糊，因此大家通常更关心 VAE 作为图像特征提取器的作用。提取特征都是为了下一步的任务准备的，而下一步的任务可能有很多，比如分类、聚类等。本文来关心“聚类”这个任务。
一般来说，用 AE 或者 VAE 做聚类都是分步来进行的，即先训练一个普通的 VAE，然后得到原始数据的隐变量，接着对隐变量做一个 K-Means 或 GMM 之类的。但是这样的思路的整体感显然不够，而且聚类方法的选择也让我们纠结。
本文介绍基于 VAE 的一个“一步到位”聚类思路，它同时允许我们完成无监督地完成聚类和条件生成。
理论
一般框架
回顾 VAE 的 loss（如果没印象请参考再谈变分自编码器VAE：从贝叶斯观点出发）：
通常来说，我们会假设 q(z) 是标准正态分布，p(z|x),q(x|z) 是条件正态分布，然后代入计算，就得到了普通的 VAE 的 loss。
然而，也没有谁规定隐变量一定是连续变量吧？这里我们就将隐变量定为 (z,y)，其中 z 是一个连续变量，代表编码向量；y 是离散的变量，代表类别。直接把 (1) 中的 z 替换为 (z,y)，就得到：
这就是用来做聚类的 VAE 的 loss 了。
分步假设
啥？就完事了？呃，是的，如果只考虑一般化的框架，(2) 确实就完事了。
不过落实到实践中，(2) 可以有很多不同的实践方案，这里介绍比较简单的一种。首先我们要明确，在 (2 )中，我们只知道 p̃(x)（通过一批数据给出的经验分布），其他都是没有明确下来的。于是为了求解 (2)，我们需要设定一些形式。一种选取方案为：
代入 (2) 得到：
其实 (4) 式还是相当直观的，它分布描述了编码和生成过程：
1. 从原始数据中采样到 x，然后通过 p(z|x) 可以得到编码特征 z，然后通过分类器 p(y|z) 对编码特征进行分类，从而得到类别；
2. 从分布 q(y) 中选取一个类别 y，然后从分布 q(z|y) 中选取一个随机隐变量 z，再通过生成器 q(x|z) 解码为原始样本。
具体模型
(4) 式其实已经很具体了，我们只需要沿用以往 VAE 的做法：p(z|x) 一般假设为均值为 μ(x) 方差为
的正态分布，q(x|z) 一般假设为均值为 G(z) 方差为常数的正态分布（等价于用 MSE 作为 loss），q(z|y) 可以假设为均值为 μy 方差为 1 的正态分布，至于剩下的 q(y),p(y|z)，q(y) 可以假设为均匀分布（它就是个常数），也就是希望每个类大致均衡，而 p(y|z) 是对隐变量的分类器，随便用个 softmax 的网络就可以拟合了。
最后，可以形象地将 (4) 改写为：
其中 z∼p(z|x) 是重参数操作，而方括号中的三项 loss，各有各的含义：
1. −log q(x|z) 希望重构误差越小越好，也就是 z 尽量保留完整的信息；
2.
希望 z 能尽量对齐某个类别的“专属”的正态分布，就是这一步起到聚类的作用；
3. KL(p(y|z)‖q(y)) 希望每个类的分布尽量均衡，不会发生两个几乎重合的情况（坍缩为一个类）。当然，有时候可能不需要这个先验要求，那就可以去掉这一项。
实验
实验代码自然是 Keras 完成的了，在 MNIST 和 Fashion-MNIST 上做了实验，表现都还可以。实验环境：Keras 2.2 + TensorFlow 1.8 + Python 2.7。
代码实现
代码位于：
https://github.com/bojone/vae/blob/master/vae_keras_cluster.py
其实注释应该比较清楚了，而且相比普通的 VAE 改动不大。可能稍微有难度的是
这个怎么实现。因为 y 是离散的，所以事实上这就是一个矩阵乘法（相乘然后对某个公共变量求和，就是矩阵乘法的一般形式），用 K.batch_dot 实现。
其他的话，读者应该先弄清楚普通的 VAE 实现过程，然后再看本文的内容和代码，不然估计是一脸懵的。
MNIST
这里是 MNIST 的实验结果图示，包括类内样本图示和按类采样图示。最后还简单估算了一下，以每一类对应的数目最多的那个真实标签为类标签的话，最终的 test 准确率大约有 84.5%，对比这篇文章 Unsupervised Deep Embedding for Clustering Analysis [1] 的结果（最高也是 84% 左右），感觉应该很不错了。
聚类图示
按类采样
Fashion-MNIST
这里是 Fashion-MNIST [2] 的实验结果图示，包括类内样本图示和按类采样图示，最终的 test 准确率大约有 60.6%。
聚类图示
按类采样
总结
文章简单地实现了一下基于 VAE 的聚类算法，算法的特点就是一步到位，结合“编码”、“聚类”和“生成”三个任务同时完成，思想是对 VAE 的 loss 的一般化。
感觉还有一定的提升空间，比如式 (4) 只是式 (2) 的一个例子，还可以考虑更加一般的情况。代码中的 encoder 和 decoder 也都没有经过仔细调优，仅仅是验证想法所用。
