出处: Michael Nielsen的《Neural Network and Deep Learning》,本节译者:哈工大SCIR硕士生李盛秋。
目录
1、使用神经网络识别手写数字
2、反向传播算法是如何工作的
- 热身:一个基于矩阵的快速计算神经网络输出的方法
- 关于损失函数的两个假设
- Hadamard积
- 反向传播背后的四个基本等式
- 四个基本等式的证明(选读)
- 反向传播算法
- 反向传播算法代码
- 什么时候反向传播算法高效
- 反向传播算法再理解
3、改进神经网络的学习方法
4、神经网络能够计算任意函数的视觉证明
5、为什么深度神经网络的训练是困难的
6、深度学习
在理论上理解了反向传播算法后,就可以理解上一章中用来实现反向传播算法的代码了。一下回忆章第一Network类中的update_mini_batch状语从句:backprop方法的代码。这些代码可以看做是上面算法描述的直接翻译。具体来说,update_mini_batch方法通过计算梯度来为当前的小批次(mini_batch)更新Network的权重状语从句:偏置。
class Network(object):
...
def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
"""Update the network's weights and biases by applying
gradient descent using backpropagation to a single mini batch.
The "mini_batch" is a list of tuples "(x, y)", and "eta"
is the learning rate."""
nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
for x, y in mini_batch:
delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]
大部分工作是由delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)这行代码完成的。它使用了backprop方法来计算偏导和。backprop方法基本上是按照上一节中描述的内容来实现的,但有一点不同:我们使用了一个稍微不同的方法来索引层。这个改动利用了的Python中列表负索引特性的优势来从后向前索引一个列表。例如,l[-3]代表列表l的倒数第三项。backprop方法的代码如下所示,同时还有一些帮助方法用来计算函数,的导数,以及代价函数的导数。你应该能够理解下面的代码了。但如果遇到了困难的话,可以参考第一章中对这段代码的描述。
class Network(object):
...
def backprop(self, x, y):
"""Return a tuple "(nabla_b, nabla_w)" representing the
gradient for the cost function C_x. "nabla_b" and
"nabla_w" are layer-by-layer lists of numpy arrays, similar
to "self.biases" and "self.weights"."""
nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
# feedforward
activation = x
activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer
zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer
for b, w in zip(self.biases, self.weights):
z = np.dot(w, activation)+b
zs.append(z)
activation = sigmoid(z)
activations.append(activation)
# backward pass
delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
sigmoid_prime(zs[-1])
nabla_b[-1] = delta
nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
# Note that the variable l in the loop below is used a little
# differently to the notation in Chapter 2 of the book. Here,
# l = 1 means the last layer of neurons, l = 2 is the
# second-last layer, and so on. It's a renumbering of the
# scheme in the book, used here to take advantage of the fact
# that Python can use negative indices in lists.
for l in xrange(2, self.num_layers):
z = zs[-l]
sp = sigmoid_prime(z)
delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
nabla_b[-l] = delta
nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
return (nabla_b, nabla_w)
...
def cost_derivative(self, output_activations, y):
"""Return the vector of partial derivatives \partial C_x /
\partial a for the output activations."""
return (output_activations-y)
def sigmoid(z):
"""The sigmoid function."""
return 1.0/(1.0+np.exp(-z))
def sigmoid_prime(z):
"""Derivative of the sigmoid function."""
return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))
问题
- 在一个批次(微型批次)上应用完全基于矩阵的反向传播方法
在我们的随机梯度下降算法的实现中,我们需要依次遍历一个批次(微型批次)中的训练样例。我们也可以修改反向传播算法,使得它可以同时为一个批次中的所有训练样例计算梯度。我们在输入时传入一个矩阵(而不是一个向量),这个矩阵的列代表了这一个批次中的向量。前向传播时,每一个节点都将输入乘以权重矩阵,偏置加上矩阵并应用sigmoid函数来得到输出,反向传播时也用类似的方式计算。明确地写出这种反向传播方法,并修改network.py,令其使用这种完全基于矩阵的方法进行计算。这种方式的优势在于它可以更好地利用现代线性函数库,并且比循环的方式运行得更快。(例如,在我的笔记本电脑上求解与上一章所讨论的问题相类似的MNIST分类问题时,最高可以达到两倍的速度)。在实践中,所有正规的反向传播算法库都使用了这种完全基于矩阵的方 或其变种。
下一节我们将介绍“为什么说反向传播算法很高效”
本文来源于哈工大SCIR