大自然为何青睐六边形?蝇眼、蜂巢背后的几何学法则

用来存储琥珀色花蜜的蜂巢的精细程度堪称是工程学上的奇迹,蜜蜂是如何做到的呢?一列列菱形巢室拼接成完美的六角形剖面。蜂蜡垒出的巢壁都有着精确的厚度,甚至每个巢室都会稍稍倾斜角度以避免粘稠的蜂蜜流出来。整个蜂巢与地球的磁场保持一致。工蜂们既没有建筑蓝图更不会高瞻远瞩,它们仅仅在日常酿蜜的过程中通过一定程度上的互相协作以避免某个巢室的错位。日复一日就自然形成了我们看到的蜂巢。

古希腊哲学家帕珀斯认为蜜蜂们被赋予了「某种几何方面的先见之明」。但智慧来源呢,难道是上帝吗?  William Kirby 在 1852 年时称,「蜜蜂是神明教导过的数学家」。而达尔文并不完全认同,他做实验来验证,是不是像他的进化论观点认为的那样,在没有其他干预的情况下,蜜蜂仅靠进化和继承就能建造完美的蜂巢。

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力量在起作用 ︰ 蜜蜂似乎已经进化出使用分泌的软蜡去构筑完美六角形巢室的能力。然而,一些研究人员认为,软蜡表面的均匀张力促使其收缩为面积最小的形状,就像泡筏上面裂变出的气泡。Grafissimo / Getty

那么,为什么又是六边形呢,这是一个简单的几何问题。如果你想要把大小形状完全相同的单元摊平在一个平面内,只有三种常见形状可行(等边等角)︰ 等边三角形、 方形和六角形。其中,与正方形和三角形相比,六角形对边长的要求最低。由此,在面积相同的情况下,六边形比三角形或正方形的总边长都小。所以,蜜蜂会选择六边形是有道理的,因为这种形状具有力学上的合理性和材料的节省原理— —就像建筑工人会控制砖的用量以节省成本。这个事实在 18 世纪时被发现,达尔文称六边形的蜂巢「最大限度地节省了劳力和蜂蜡的使用。」

达尔文认为自然选择赋予了蜜蜂泌蜡筑巢的天赋,并且六边形比其他形状更加省时省力。然而,即使蜜蜂在处理蜂房角度和巢壁厚度时看似有些特殊能力,但人们对蜜蜂到底是否有意的在使用这些能力却莫衷一是。毕竟,制作六角形阵列的巢室本来也是大自然会插手的事儿。

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六角泡泡:肥皂泡层主要包括六角型气泡,尽管并不都是完美的六角形。也有一些五角或七角的气泡。尽管如此,所有气泡的边线交点都分出三条边,每两条边的夹角都接近 120 度。Shebeko / Shutterstock

如果你在水面上吹一层气泡——即所谓的泡筏——这些气泡会变成六边形,或者近乎六边形。你永远不会找到四边形的泡筏,如果四面气泡壁碰到一起,它们会立即重新排列成三面的连接,夹角近乎120度,就像奔驰标志的中心那样。

很显然这些泡筏的形成没有外力因素,不像蜜蜂筑巢。是物理定律塑造了这一模式。物理定律显然有着明确的偏好,比如对三面联结的气泡壁的偏爱。在更复杂的泡沫中亦是如此。如果你把吸管插在一碗肥皂水里,吹出立体堆积的泡泡,气泡壁的顶点处总是四面联结,薄层间的夹角大致呈109度,类似于四面体。

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泡沫型视野:昆虫的复眼是六边形组合,就像泡筏结构一样,尽管事实上,每个面都是一个透镜,下面连接着长长的薄薄的视网膜细胞。生物细胞群形成的结构形式上通常遵循着和泡沫、泡筏一致的规则——三条边在顶点相接。苍蝇复眼多面体的微观结构——正如下面看见的一样——正是绝佳的例子之一。每个面都有四簇感光细胞,形状和四个气泡组成的气泡簇一样。Tomatito / Shutterstock

肥皂膜的联结和气泡的形状遵循着一定的规则,这是由什么决定的?自然比蜜蜂更在意经济性。气泡和皂膜是由水(表层是肥皂分子)形成的,液体表面的表面张力使得它们尽可能的小。这也是为什么雨滴降落的时候是球形(近似)的:一样的体积,和其他形状相比球体有着最小的表面积。基于同样的原因,荷叶表面的水滴凝结成一粒粒小水珠。

表面张力解释了泡筏和皂膜的形状。皂膜会自行寻找表面张力最低的结构,这意味着皂膜外壁面积尽可能的小。但是泡壁的构造也必须稳定,联结点不同方向的拉力必须达到完美均衡,就好比教堂要能屹立不倒墙壁必须受力平衡。泡筏的三边联结和皂膜的四面联结,就是能达成这种平衡的结构。

但是那些认为蜂巢不过是变硬的软蜡泡筏的人(有些人这么认为),不太能解释为何在纸巢黄蜂(胡蜂)的蜂巢中也发现了一样的六边形排列,纸巢黄蜂筑巢用的不是蜡,而是用咀嚼过的大量的木纤维和植物根茎,用这些东西它们造出了纸巢。表面张力在这里发挥不了什么作用,而且很清楚的是,不同类型的蜜蜂有着不一样的建筑设计方面的遗传直觉,不同类别之间差异很大。

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水滴的形成:当水落在憎水性表面上时,就会碎成水滴。这些水滴的形状由表面张力(将它们拉成近乎球状)、重力(将水滴在水平面上拉平)以及水与承载它的固体表面之间的相互作用力所决定。如果后面这些力足够大,水滴句会被拉成透镜状的薄饼。如果如表面并没有那么强的憎水性,水滴会扩展成一层平平的光滑的膜。左图:Stuchelova, Kuttelvaserova / Shutterstock;右图: Olgysha / Shutterstock;下图:Pitiya Phinjongsakundit / Shutterstock

虽然肥皂膜的这种几何连接是由机械力的相互影响所决定的,但它并没有告诉我们泡沫的形状将会成为什么样子。一个常规的泡沫是由许多不同形状大小的多边形分子构成。靠近看你会发现它们的边缘很少是条直线;它们是有一些弧度的。这是由于分子内的气体压强在小气泡变小的时候变得更大,因此一个小泡泡的壁垒挨着一个大泡泡时就会产生轻微的膨胀扩张。更重要的是,一些表面有五个边,一些有六个边,还有一些只有四个或者三个。通过让边壁有一点儿弯曲,所有这些形状都能成为一个接近于「四面体」的四联通,这种种形状是满足机械稳定性所需要的。因此,气泡的形状有很多灵活性。泡沫,虽然受限于几何法则,却相当无序。

设想你能做出一个「完美的」泡沫,在它里面的所有泡泡都是相同大小的。当满足泡泡连接之间的角度时,要让制造的所有的气泡的泡壁面积尽可能的小,什么才是理想的分子形状?这已经被争论了很多年,长久以来,人们认为,理想的分子形状是一个有14边、以正方形或者正六边形为面的多面体。但是在 1993 年,比这更节省面积——尽管更无序的结构被发现了,它是由八种不同形状的单元组成的集群的不断重复所组成。这个更复杂的模型被用于 2008 年北京奥运会游泳场馆的那泡沫状的设计灵感。

泡沫中分子形状的规则也适用于一些活细胞分子。不仅是苍蝇的复眼表现为相同的六边形结构组成的泡筏,而且感光细胞在每一个单独的镜头下也像肥皂泡一样四个一组的聚起来。变异果蝇的每一组有超过四个这样的细胞,这种排列也或多说少地类似于气泡的排列方式。

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利用泡泡:泡泡和泡沫被大自然所利用。这里常见的紫色蜗牛悬挂在由泡泡覆盖的粘液做成的浮力筏上,浮在海洋表面。这使得蜗牛能吃一些活在水面上的生物。Dorling Kindersley

由于表面张力,一个横跨线圈的肥皂泡会被拉平,这就像是蹦床上的弹簧薄膜被拉平一样。如果线圈的框架是弯曲的,这个膜也会自动以一个优雅的轮廓告诉你如何以最节省的方式以最少的材料方面覆盖住框架之内的空间。这能告诉一个建筑师,如何用最少的材料去做一个复杂结构的屋顶。而且,它们的这种所谓的「最小表面」也十分美丽精巧,值得建筑师学习。由于它们的经济性,建筑师比如 Frei Otto 也将他们用在他们的建筑上。

通过这种形态,这些平面不仅在表面积上面达到了最小化,同时也使它的总曲率上达到了最小化。一般情况下,一个平面弯曲的幅度越大,它的曲率就越大。但是曲率可以为正(向上的凸起),也可以为负(向下的倾角、凹陷或鞍型)。因此,一个弯曲的平面只要自身的正曲率和负曲率可以相互抵消,它的平均总曲率就可以达到零。这种曲率最小化的平面可以将空间切分出不同的通道和走廊,组成一个有序的迷宫,形成一个有序的网络。这样的网络被称为周期性极小曲面。周期性是指某一种结构会不断重复以同一种形态出现,简单来说,周期就是规则化的模式。

当19世纪的人们第一次发现这个规律的时候,人们只是把它当作是一种数学领域的新发现。但是现在我们知道,在大自然中充斥着这种规律的现实形态。

从植物到鱼类到哺乳动物,许多生物的细胞中都包含着具有这种结构的细胞膜。尽管人们现在并不知道这种结构对于生物究竟有什么作用。但是这种结构存在的如此广泛,以至于我们有理由相信这种结构对于生物的生存发展会起到某种积极的作用。可能这种结构有助于将不同的生化过程互相区分开来,以免他们相互串联或干扰。或者因为许多生化过程需要在镶嵌着活跃生物分子和生物酶的细胞膜表面进行,这种结构有利于在生物的细胞膜表面有效的形成足够多的生化过程所需要的工作平台。

与此同时,我们还发现在许多蝶类动物诸如欧洲绿纹蝶或者 Cattleheard身上也存在着这种结构。这些蝴蝶的翅膀上存在着一种有序排列的坚硬的被称为甲壳素的物质,这种物质排列形成了一种周期性极小平面,这种平面被称为螺旋 24 面体。光波在这些翅膀上不同的结构之间的折射改变了光波的长度,导致了一些颜色因此消失,一些颜色因此被增强。因此,我们在这些蝴蝶的身上看到了此类结构改变颜色的能力。

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矿物质的网络:海面那精细多空的骨架,如同维纳斯的花篮。它们是矿物质沿着泡沫状的软组织的交结点和交叉点扩散而成的「冻结的泡沫」。Dmitry Grigoriev / Shutterstock

海胆Cidaris rugosa的骨架是一个多孔的网,上面布满了另一种周期性最小表面。它实际上是一种外骨骼,位于机体的软组织的外部,从而用和粉笔、大理石同样的物质构成的看起来吓人的尖刺来形成一个保护性外壳。这些开放的网格结构意味着,它可以在比较轻的重量下具有较高的强度,而这正如在建造飞行器使所使用的泡沫金属一样。

要从坚硬陡峭的矿物质中造出有序的网络,这些组织要先用柔软弹性的膜建造一个模子,再把坚硬物质在这些互相交汇的网格中固定下来。其他生物可能会以这种方式用泡沫矿物质来建造更复杂的东西。由于光在规则化结构中反射的方式,这些结构可以像镜子一样限制和引导光。一种叫海毛虫的奇幻海洋生物的几丁质棘刺上的微型孔道具有蜂巢般的排列,这样海毛虫就可以把这些毛发般的结构变成一种能传导光的天然光纤,使得它可以随着光照的方向变化而从红变绿。这种颜色改变可以让它躲避捕食者。

这种使用软组织和薄膜来作为构造有规则的矿物质外壳的方式,在海洋中被广泛使用。有些海绵拥有一条条像蜿蜒爬行的条框一样的外骨骼,这些条框看起来很像肥皂泡的边界和交汇处所形成的那种规则模式——只要表面张力主宰着建造过程,这就并非巧合。

这种被称为生物矿化作用的过程在放射虫纲和硅藻纲的海洋生物中产生了奇特的结果。有些这样的生物拥有由六角形和五角形矿物质网络组成的优美外壳。你可以把它们称为大海之蜂巢。当德国生物学家(和天才艺术家)Ernst Haecker 于 19 世纪晚期第一次在显微镜下看到它们的形状时,他把它们画入了他的作品系列《大自然的艺术形式》,而这成了这些作品最吸引人的地方。对 Haecker 来说,这似乎证明大自然具有某种根本性的创造力和艺术性——自然法则更偏爱秩序和规则性。即使我们现在并不再认同 Haecker 的这一构想,我们也会认为 Haecker 的这一看法是有意义的:这些规则图样是大自然的一种不可抑止的冲动,而我们在这里面发现了美。


原文地址:Why Nature Prefers Hexagons

入门几何学生物理论